思路

这个题目一开始我也不会做，是看了题解区 @yingzhaoyang 大佬的题解之后才明白怎么做的。

首先看这个不定方程：
$$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n!} $$

我们可以将等号左边的式子通分加起来，得到：
$$ \frac{x+y}{xy}=\frac{1}{n!}=\frac{1}{\frac{xy}{x+y}} $$

这个时候：
$$ \frac{xy}{x+y}=n! $$

我们这里把 $n!,y$ 看成常数就行了，这样就可以得到：
$$ x=\frac{n!y}{y-n!} $$

为了将这个分母变得简单，我们此时令：
$$ y=n!+k $$

这样就可以得到最终的$x$的方程：
$$ x=\frac{(n!)^2}{k}+n! $$

看到了吗，这就是@yingzhaoyang 大佬这样设$y$的原因。

所以这个问题可以等价于：找出 $(n!)^2$ 的约数的个数。

找一个阶乘的约数个数可以回顾 阶乘分解。只不过这里是求$(n!)^2$ 的约数的个数，记得对每个质数的次数翻一倍即可。

然后就是简单的组合数学问题，一个约数可以转化为各种不同的质数以及各质数不同的个数。答案即为：
$$ \prod_{i=1}^{n}{(c_i+1)} $$

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10, Mod = 1e9 + 7;

int primes[N], cnt;
bool vis[N];

typedef long long ll;

void init(int n){
    for (int i = 2; i <= n; i ++ ){
        if (!vis[i])    primes[cnt ++ ] = i;
        for (int j = 0; j < cnt and primes[j] <= n / i; j ++ ){
            vis[primes[j] * i] = 1;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}

int get(int x, int p){
    int res = 0;
    while (x){
        res = (res + x / p) % Mod;
        x /= p;
    }

    return res;
}

int main(){

    int n;
    cin >> n;
    init(n);

    int ans = 1;
    for (int i = 0; i < cnt; i ++ )
        ans = (ll) ans * (2 * get(n, primes[i]) + 1) % Mod;

    cout << ans;

    return 0;
}