又是翻题解才能想出来的思路。。

所有数字都在“123456789”里取，且每个数字只能出现一次
枚举两个分割点，把整个排列分为三个区间，每个区间表示一个数，如“12|345|6789”对应$12+\frac{345}{6789}$

可以按长度枚举，前两个数所占的长度都从小到大，剩下的归到第三个数，则分别记为$x$、$y$、$z$（其中$x+\frac yz =n$），期间$x$、$y$越来越大而$z$越来越小，当$x \geq n$或者$\frac yz \geq n-x$时，当前排列后续的所有分割情况都不满足了

接着推导出“123456789”的下一个排列，并再次枚举分割点，直到尝试完所有的排列情况
求下一个排列，可以手撸nextPermutation，参照本人题解AcWing 420. 火星人（Java 图示 实现next_permutation）

import java.util.*;
import java.lang.*;

public class Main {
    static Scanner scanner = new Scanner(System.in);

    static boolean nextPermutation(char[] a, int l, int r) {
        int pos1 = r;
        while (pos1 > l && a[pos1 - 1] >= a[pos1]) pos1--;
        pos1--;
        if (pos1 < l) return false;  // 如果当前已经是最后、最大的一个排列 就返回false
        int pos2 = pos1 + 1;
        while (pos2 <= r && a[pos2] >= a[pos1]) pos2++;
        pos2--;
        char t = a[pos2];
        a[pos2] = a[pos1];
        a[pos1] = t;
        for (int i = pos1 + 1, j = r; i < j; i++, j--) {
            t = a[i];
            a[i] = a[j];
            a[j] = t;
        }
        return true;  // 成功生成下一个排列 返回ture
    }

    public static void main(String[] args) {
        int n = scanner.nextInt();
        char[] a = "123456789".toCharArray();  // 初始指定排列为最小字典序
        int cnt = 0;  // 记录方案总数
        do {
            for (int i = 1; i <= a.length - 2; i++) {  // 枚举第一个数占序列的字符个数
                int x = -1, y = -1, z = -1;  // x + y/z == n
                for (int j = 1; j + i <= a.length - 1; j++) {  // 枚举第二个数占序列的字符个数
                    x = Integer.parseInt(String.valueOf(a, 0, i));  // 依次从字符数组转到数字
                    y = Integer.parseInt(String.valueOf(a, i, j));
                    z = Integer.parseInt(String.valueOf(a, i + j, a.length - i - j));
                    if (y % z == 0 && x + y / z == n) cnt++;  // 如果可行 方案加1
                    else if (y / z >= n - x) break;  // 剪枝1 长度从小到大枚举 x不变时y越来越大z越来越小 y/z超过n-x就可以停了
                }
                if (x >= n) break;  // 剪枝2 当x已经大于等于n时 +y/z必定不满足 可以直接开始下一个排列
            }
        } while (nextPermutation(a, 0, a.length - 1));  // 枚举所有排列情况
        System.out.println(cnt);
    }
}