算法

Kruskal算法

时间复杂度是 O(mlogm)O(mlogm), nn 表示点数，mm 表示边数

int n, m;       // n是点数，m是边数
int p[N];       // 并查集的父节点数组

struct Edge     // 存储边
{
    int a, b, w;

    bool operator< (const Edge &W)const
    {
        return w < W.w;
    }
}edges[M];

int find(int x)     // 并查集核心操作
{
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int kruskal()
{
    sort(edges, edges + m);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;    // 初始化并查集

    int res = 0, cnt = 0;
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;

        a = find(a), b = find(b);
        if (a != b)     // 如果两个连通块不连通，则将这两个连通块合并
        {
            p[a] = b;
            res += w;
            cnt ++ ;
        }
    }

    if (cnt < n - 1) return INF;
    return res;
}

思路

Kruskal算法 (解决稀疏图) O(mlog(m))O(mlog(m))
将所有边按照权重从小到大排序 O(mlog(m))O(mlog(m))
枚举每条边(a, b， 权重c) O(m)O(m)
      if a, b 两点不连通
            将a, b边加入集合中
第二步与 连通块中点的数量 相似
使用并查集，查询两个结点是否属于一个集合， 合并两个结点

C++ 代码

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, M = 2e5 + 10, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
int p[N];

struct Edge {
    int a, b, w;

    bool operator<(const Edge &e) const {
        return w < e.w;
    }
} es[M];

int find(int x) {
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int kruskal() {
    int cnt = 0, res = 0;

    sort(es, es + m);

    for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;

    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a = es[i].a, b = es[i].b, w = es[i].w;
        a = find(a), b = find(b);
        if (a != b) {
            p[a] = b;
            res += w;
            cnt++;
        }
    }

    if (cnt < n - 1) return INF;
    else return res;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a, b, w;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
        es[i] = {a, b, w};
    }

    int t = kruskal();
    if (t == INF) cout << "impossible";
    else cout << t;
}