题目描述

n-皇后问题是指将 n 个皇后放在 n∗n 的国际象棋棋盘上，使得皇后不能相互攻击到，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。

1_597ec77c49-8-queens.png

现在给定整数n，请你输出所有的满足条件的棋子摆法。

输入格式
共一行，包含整数n。

输出格式
每个解决方案占n行，每行输出一个长度为n的字符串，用来表示完整的棋盘状态。

其中”.”表示某一个位置的方格状态为空，”Q”表示某一个位置的方格上摆着皇后。

每个方案输出完成后，输出一个空行。

注意：行末不能有多余空格。

输出方案的顺序任意，只要不重复且没有遗漏即可。

数据范围
1≤n≤9

样例

输入样例：
4
输出样例：
.Q..
...Q
Q...
..Q.

..Q.
Q...
...Q
.Q..

算法1

(暴力枚举) $O(n^2)$

dg[i+u]和udg[u-i+n]用来判断当前正在遍历的位置是否与之前以前遍历过的位置在同一正对角线或同一反对角线上，即截距是否相同

时间复杂度

参考文献

C++ 代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
/*
    本解法与 94. 递归实现排列型枚举 相似
*/
using namespace std;

const int N=20;
char map[N][N];
int n;
//col 用来判断任意两个皇后是否在同一列
//dg  用来判断任意两个皇后是否在同一正对角线 
//ugd 用来判断任意两个皇后是否在同一反对角线 
bool col[N],dg[N],udg[N];

void dfs(int u){
    if(u==n){
        for(int i=0;i<n;i++)
        puts(map[i]);
        puts("");
        return;
    }

    for(int i=0;i<n;i++){
        //dg[i+u]和udg[u-i+n]用来判断当前正在遍历的位置是否与之前以前遍历过的位置在同一正对角线或同一反对角线上，即截距是否相同
        if(!col[i]&&!dg[i+u]&&!udg[u-i+n]){
            map[u][i]='Q';
            col[i]=dg[i+u]=udg[u-i+n]=true;
            dfs(u+1);
            map[u][i]='.';
            col[i]=dg[i+u]=udg[u-i+n]=false;
        }
    }
}

int main(){
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<n;j++)
        map[i][j]='.';
    }
    dfs(0);
}

算法2

(暴力枚举) $O(n^2)$

blablabla

时间复杂度

参考文献

C++ 代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
/*
    本解法与 https://www.acwing.com/problem/content/94/ 相似
*/
using namespace std;

const int N=20;
char map[N][N];
int n;
//row 用来判断任意两个皇后是否在同一行
//col 用来判断任意两个皇后是否在同一列
//dg  用来判断任意两个皇后是否在同一正对角线 
//ugd 用来判断任意两个皇后是否在同一反对角线 
bool row[N],col[N],dg[N],udg[N];

void dfs(int x,int y,int s){
    if(y==n) {
        y=0,
        x++;
    }
    if(x==n){
        if(s==n){
            for(int i=0;i<n;i++)
            puts(map[i]);
            puts("");

        }
        return;
    }

    //放皇后
    //dg[i+u]和udg[u-i+n]用来判断当前正在遍历的位置是否与之前以前遍历过的位置在同一正对角线或同一反对角线上，即截距是否相同
    if(!row[x]&&!col[y]&&!dg[x+y]&&!udg[x-y+n]){
        map[x][y]='Q';
        row[x]=col[y]=dg[x+y]=udg[x-y+n]=true;
        dfs(x,y+1,s+1);
        map[x][y]='.';
        row[x]=col[y]=dg[x+y]=udg[x-y+n]=false;
    }

    //不放皇后
    dfs(x,y+1,s);
}

int main(){
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<n;j++)
        map[i][j]='.';
    }
    dfs(0,0,0);
}