宠物小精灵之收服

考点：动态规划,01背包问题

思路

本题是一道二维背包问题，可以类似于01背包问题，只不过01背包问题是只有一维：背包体积，而这道宠物精灵收服问题有两个维度：精灵球的数量、皮卡丘的体力。代码实现的状态表示就是根据01背包的dp[i][j]类比成成dp[i][j][k],再进行状态压缩成dp[j][k]。

状态转移方程：dp[i][j][k]=max(dp[i-1][j][k],dp[i-1][j-c][k-a]+1);(其中c是捕获第i个精灵需要的球，a是造成的伤害)
优化：dp[j][k]=max(dp[[j][k],dp[j-c][k-a]+1);由于是由i-1层转换而来，所以j,k都是逆序遍历

注意

• 皮卡丘体力小于等于0的野生小精灵也不会被小智收服,这里要特别小心，当小智收服一个精灵时刚好能把体力全部用完，也就是体力变成0时，小智此时不会收服这个精灵，也就是最后的体力最少要剩下1点，也就是最多消耗m-1点体力，所以最多能捕获的精灵数应该是dp[n][m-1]而不是dp[n][m]。

• 题目的结果要求输出在捕获最多精灵的情况下最大剩余体力，只需要从小枚举即可

代码

#include <iostream>

using namespace std;

//c[i]表示精灵i需要的精灵球数
//a[i]表示精灵i造成的伤害
//dp[j][k]表示前i个精灵中，最大精灵球j,体力k的小智能收服的最多精灵数量（三维压缩成二维）
int c[200],a[200],dp[1010][810];


int main()
{
    int n,m,k;//n:小智精灵球数；m:小智体力数；k：野生精灵数
    cin>>n>>m>>k;
    for(int i=1;i<=k;i++){
        cin>>c[i]>>a[i];
    }
    for(int i=1;i<=k;i++){//小精灵数
        for(int j=n;j>=c[i];j--)//精灵球数
            for(int k=m;k>=a[i];k--)//体力数
                dp[j][k]=max(dp[j][k],dp[j-c[i]][k-a[i]]+1);
    }
    cout<<dp[n][m-1]<<" ";//拥有n个球，m-1体力的小智收服的最多精灵数

   for(int i=0;i<=m-1;i++)
        if(dp[n][i]==dp[n][m-1]){
            cout<<m-i<<endl;
            break;
        } 
    return 0;
}