循环节是 KMP 算法的经典应用；

思路

假设循环节为 t，当前前缀长度为 n $\Leftrightarrow S[1, n - t] = S[t + 1, n]$，也就是前缀和后缀相等，而题目中要求 t 最小，也就是能够相等的最长的前后缀 $\Leftrightarrow$ KMP 算法中 next 数组的定义;
所以整个问题就变为遍历算出整个字符串的 next 数组的值，然后取 t = i - next[i]，若 t 能整除 i 且除数大于 2 即可；

AC Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string>

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;
char str[N];
int ne[N];

int main()
{
    int n, T = 1;
    while (scanf("%d", &n), n) {
        scanf("%s", str + 1);
        for (int i = 2, j = 0; i <= n; i++) {
            while (j && str[i] != str[j + 1]) j = ne[j];
            if (str[i] == str[j + 1]) j++;
            ne[i] = j;
        }

        printf("Test case #%d\n", T++);
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int t = i - ne[i];
            if (i % t == 0 && i / t >= 2) {
                printf ("%d %d\n", i, i / t);
            }
        }
        puts("");
    }
    return 0;
}