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剑指 Offer 44. 数字序列中某一位的数字

数字以0123456789101112131415…的格式序列化到一个字符序列中。在这个序列中，第5位（从下标0开始计数）是5，第13位是1，第19位是4，等等。

请写一个函数，求任意第n位对应的数字。

示例 1：

输入： n = 3
输出： 3

示例 2：

输入： n = 11
输出： 0

限制：

0 <= n < 2^31
注意：本题与主站 400 题相同：https://leetcode-cn.com/problems/nth-digit/

解题思路

首先我们知道的是，1 位数有 10 个，2 位数有 90 个，3 位数有 9 * 100 个，4 位数有 9 * 1000 个，以此类推，如下表
|数字范围 | 数量 |位数 | 占多少位 |
|–|–|–|–|
| 1 ~ 9 | 9 | 1 |9 |
| 10 ~ 99 |90 |2 | 180 |
| 100 ~ 999 |900 | 3 | 2700|
| …| … |… |… |

1. 假如我们需要求的是序列的第1001位是什么，我们可以发现1001 > 9,所以第1001位肯定在1~9这九位数字之后，接下来我们又发现（1001 - 9） > 180,所以第1001位也不可能是一个两位数中的某位，而（1001 - 9 - 180）< 2700,因此可以断定序列的第1001位是一个三位数中的某一位。

2. 现在已经知道了序列的第1001位是一个三位数中的某一位，那到底是哪一个三位数呢，很简单，计算方法为（1001 - 9 - 180）/ 3向上取整，即100 + (（1001 - 9 - 180 + 3 - 1）/ 3 ) - 1= 370。看下方注1中的上取整公式即可。

3. 好的，现在也知道了它是属于370的某位的，那到底是哪一位，求余就好了（1001 - 9 - 180）% 3 = 2；所以答案是370中的第二位，即7。

注1： n / i上取整的公式为（n + i - 1）/ i
原因:
- n能整除i时,则i - 1/i = 0;
- n不能整除i时，由于n是整数，则最少也会余1，所以(i - 1 + 大于1小于i的数) / i = 1，实现了上取整。

注2：题目中第几位是从0开始计数的，即第0位，第1位，第2位...，而我们上面例子刚好也是从0开始计数，即0就是第0位，1就是第1位，也就是说，题目中表达的第1001位指的就是我们表格中从1开始计数的第1001位。

总结上述过程为：
- 确定序列的第n位应该是一个几位数中的某一位，比如是三位数
- 确定是几位数的第几个数，然后确定具体数值，比如是三位数的第271 个数，则数值是100 + 271 - 1 = 370。
- 确定属于那个数的第几位，比如是370的第二位，即7

时间复杂度: $O(log_{10}n)$ 也即$O(logn)$

总的时间复杂度即三步操作的时间复杂度

int 的范围 $2∗10^9$，所以最多是 10 位数，因此第一步操作的时间最多是$log_{10}n = 10$次，是 $O(1)$ 的时间复杂度，第二步除法向上取整，也是 $O(1)$ 的，第三步求是第几位数字是 $O(log_{10}n)$ 的,因为在二进制表示中取某一位可以每次右移1 位（即除以 2），所以是 $O(log_2n)$级别的，同理在十进制中取某一位可以每次右移1 位（即除以10），所以是$O(log_{10}n)$ 级别的

Java代码

class Solution {
    public int findNthDigit(int n) {
        //1.第n位是一个几位数中的某一位
        //i表示是几位数，s表示该位数的数有多少个，如1位数9个，2位数的有90个...
        //base表示一个几位数的起点，如一位数起点是1,二位数起点是10...
        //当输入的n是int的最大值时，位数为9位，此时s *= 10执行九次的话会int越界的，故用long接收
        long i = 1,s = 9,base = 1;
        while(n > i * s){
            n -= i * s;
            i++;
            s *= 10;
            base *= 10;
        }

        //2.看它是几位数的第几个数,然后就可以知道它的数值了(n + i - 1) / i为n/i上取整公式
        long num = base + (n + i - 1) / i - 1;

        //3.确定属于那个数的第几位
        //求余数即可，r = 0 表示是最后一位（也就是 i，几位数就是几），r != 0,则r是几就是第几位
        long r = n % i == 0 ? i : n % i;

        //取出num的第r位，去掉后面的i - r位即可
        //如12345的第三位，后面还有两位45，我们将这两位去掉才好取出顺数的第三位
        for(int j = 1; j <= i - r;j++){
            num /= 10;
        }

        return (int)num % 10;//取出现在的个位就是我们的结果
    }
}