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剑指 Offer 43. 1～n 整数中 1 出现的次数

输入一个整数 n ，求1～n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。

例如，输入12，1～12这些整数中包含1 的数字有1、10、11和12，1一共出现了5次。

示例 1：

输入： n = 12
输出： 5

示例 2：

输入： n = 13
输出： 6

限制：

1 <= n < 2^31

注意：本题与主站 233 题相同：https://leetcode-cn.com/problems/number-of-digit-one/

解法一：暴力求解

最直观的做法，就是累加1 ~ n中每个整数出现1的次数，我们可以通过对10求余数判断整数的个位数字是不是1，如果这个数字大于10，则除以10之后再判断个位数字是不是1。

Java代码

class Solution {
    public int countDigitOne(int n) {
        int res = 0;
        for(int i = 1;i <= n;i++){
            int num = i;
            while(num != 0){
                if(num % 10 == 1) res++;
                num /= 10;
            }
        }
        return res;
    }
}

遗憾的是TLE了，在上述思路中，我们对每个数字都要做除法和求余运算，以求出该数字中1出现的次数。而我们知道，对于一个数字n,它有$O(logn)$位，如100有$log_{10}100 +1=3$ 位，即求一个数n有多少位的时间复杂度是$O(logn)$的，又我们需要求n个数字，即n次，那么总时间复杂度就是$O(nlogn)$，当输入的n非常大的时候，需要大量的计算，运算效率不高，导致超时了。

解法二：数位统计

我们假设 n = abcdef，其中等号右边a为1~9中的某个数字，其余的可为0~9中某个数字，我们需要做的就是统计每个位上，如个位、十位、百位…上能出现1的次数的总和。

假设求c位置为1的个数：
此时c左边和右边的值分别为 lVal = ab, rVal = def, 而t = 1000，表示c的位置是千位的位置
此时则有如下两种情况：
1. lval取[0, ab-1];右边可以从0 取到999，也就是此时c位置可以出现1000次1，我们用t表示，因为t就是1000, 此时res += lval * t;
2. lval 取 ab；
- 如果c=0，没有任何元素,及c位此时一次1都无法出现
- 如果c=1，右边可以取[0，def]也就是def+1个元素,res += def+1
- 如果c>1，右边可以从0取到999，也就是t=1000, 此时res += t;

举例 :

假如n = 123456
1. 假设当前计算千位上出现1的个数，在千位上有 _ _x_ _ _，x的左边有 12，右边有 456
当左边是[0,11]时，千位上可以为1，且千位右边的三位可以是0~999，即千位上的数字我们固定为1，左边是[0-11]的任意一个数字时，右边可以是0~999，共1000个选择，所以千位是1的个数是 12 * 1000
2. 如果左边是12了
- x = 0;千位上没有1
- x = 1,那么前三位固定了是121，但后三位可以是0~456，共457个数，故千位出现1的次数应加上457
- x > 1;此时我们如果把千位x固定为1，后面三位可以是0~999，共1000个数，故千位出现1的次数应加上1000,n = 123456时就是走的该情况。

Java代码

class Solution {
    public int countDigitOne(int n) {
       int res = 0;
        List<Integer> numbers = new ArrayList<>();
        while (n != 0){
            numbers.add(n % 10);
            n /= 10;
        }
        for (int i = numbers.size() - 1; i >= 0 ; i--) {//枚举每一个数位、个位、十位、百位...
            int lVal = 0, rVal = 0; // i位置元素 左右两边的值
            int t = 1;
            //数位左边的数字
            for (int j = numbers.size() - 1; j > i; j--) lVal = lVal * 10 + numbers.get(j);
            //数位右边的数字
            for(int j = i - 1; j >=0; j--) {
                rVal = rVal * 10 + numbers.get(j);
                t *= 10;
            }

            // 左边
            res += lVal * t;

            // 右边
            if (numbers.get(i) == 1) {
                res += rVal + 1;
            } else if (numbers.get(i) > 1) {
                res += t;
            }
        }
        return res;
    }
}