解法一：动态规划（完全背包）
将此问题类比成完全背包问题，可以选择的数字看作物品，总和看作体积，然后进行求解。
状态定义：$f[i][j]$，表示从数字$1,…,i$中选择，总和为$j$的方案数量；
状态转移方程：$f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j - i]$；
特别注意边界条件，即初始化过程。

import java.util.*;

public class Main{
    static int MOD = (int)1e9 + 7;
    static int N = 1010;
    static int[][] f = new int[N][N];

    public static void main(String[] args){
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        // 初始化
        for(int i = 0; i <= n; i ++) f[i][0] = 1;

        for(int i = 1; i <= n; i ++)
            for(int j = 1; j <= n; j ++){
                f[i][j] = f[i - 1][j] % MOD;
                if(j >= i)
                    f[i][j] = (int)((long)f[i][j] + (long)f[i][j - i]) % MOD;
            }
        System.out.println(f[n][n]);
    }
}

解法二：动态规划（其它）
状态定义：$f[i][j]$，表示总和为$i$，并且恰好是$j$个数的方案数量；
状态转移方程：将所有方案分成“最小值为1”和“最小值大于1”两类，则可得$f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + f[i - j][j]$
特别注意边界条件，即初始化过程：应该初始化成$f[0][0] = 1$，而不应该初始化成$f[0][i], i = 1, 2, …, n$，因为总和为0且恰好有i个数明显与前面对方案的分类矛盾，故不能这样做。注意与前一种方法的初始化进行区分。

import java.util.*;

public class Main{
    static int MOD = (int)1e9 + 7;
    static int N = 1010;
    static int[][] f = new int[N][N];

    public static void main(String[] args){
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        // 初始化
        f[0][0] = 1;

        for(int i = 1; i <= n; i ++)
            for(int j = 1; j <= i; j ++)
                f[i][j] = (int)((long)f[i - 1][j - 1] + (long)f[i - j][j]) % MOD;


        int res = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i ++){
            res += f[n][i];
            res %= MOD;
        }
        System.out.println(res);

    }
}