思路

我们可以先计算出目标点向外一共有多少圈，然后再分别讨论目标点在当前圈的上、右、下、左四种情况下的取值。

1.计算圈数

目标点有可能落在所在圈的上、右、下、左四个方向，如何根据其下标$(x,y)$来确定其在第几圈？

可以分别计算目标点到四个最外层边界的距离，最短的距离即为圈数。

2.计算外圈的长度

不难注意到，边长为$a$的圈长度为$4a - 4$，向内一圈的边长为$a - 2$，长度为$4(a-2) - 4 = 4a - 12$。所以是一个首项为$4a - 4$，公差为$-8$的等差数列。利用等差数列求和公式$S_n = a_1n + n(n-1)d/2$即可求出外圈总长度（其中$n$为项数）。

注意：由于数据范围为$10^9$, 直接使用求和公式会爆long long，需要进行等价变形

3.分类讨论目标点落在所在圈的哪个方向

不妨令所在圈四个边界的坐标为left, right, up, down

1. 如果在上方，则只需要加1段，即从左上角出发，向右走$y - left + 1$的距离；
2. 如果在右方，则需要加2段，即从左上角出发，向右走$right - left$的距离，再向下走$x - up + 1$；
3. 如果在下方，则需要加3段，即从左上角出发，向右走到底，再向下走到底，一共走$2(right - left)$，再向左走$right - y + 1$;
4. 如果在左方，则需要加4段，即从左上角出发，向右走到底，再向下走到底，再向左走到底，一共走$3(right - left)$，再向上走$down - x + 1$.

参考代码

class Solution {
public:
    int orchestraLayout(int n, int x, int y) {
        long long layer = min(min(x, y), min(n - x - 1, n - y - 1)); // layer表示圈数，n为正方形的边长

        // 下面这2行是等差数列求和公式的变形，为了防爆long long
        long long len = layer * (n - 1) - (layer - 1) * layer;
        len <<= 2; 

        long long up = layer, down = n - layer - 1;
        long long left = layer, right = n - layer - 1;

        if (x == up) len += y - left + 1; 
        else if (y == right) len += (right - left) + (x - up + 1);
        else if (x == down) len += (right - left) * 2 + (right - y + 1);
        else if (y == left) len += (right - left) * 3 + (down - x + 1);


        return len % 9 == 0 ? 9 : len % 9;
    }
};