题目描述
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包,每种物品都有无限件可用。
第 i 种物品的体积是 vi,价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包,可使这些物品的总体积不超过背包容量,且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数,N,V,用空格隔开,分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行,每行两个整数 vi,wi,用空格隔开,分别表示第 i 种物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数,表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例:
10
思路
dp问题主要有两个属性决定
1.状态表示f(i, j)
____所有选法
1.1 集合 _|
|____条件 1.从前i个物品中选 2.总体积不大于j;
1.2 属性 max, 其他(min, 数量)
2 状态计算 f(i, j)
按照集合划分,集合按照选择第i个物品,并且第i个物品可以选择多个
从1...i 中选择物品,保证总体积 <= j, 并且包含第i物品
假设所有的选法都包含了多个第i个物品,目标是找出价值最大的选法
将每一种选法的k个i物品全部去掉,不会影响最大值是谁(打个
比,小明是班级里面的第一名,即使班里面的所有人+2 * 50分,小明
仍然是第一名),将k个i物品去掉,即f(i, j) = f(i - 1, j - k * v[i]),
为了包含第i个物品,所以需要保证j-k*v[i] >= 0,即j >= k*v[i]的情况下,
才能将k个物品i选择,最终f(i, j) = f(i - 1, j - k * v[i]) + k * w[i];
图的显示如下
优化思想
推理公式如图所示
f[i][j] = f[i - 1][j] 不要第i个物品
if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);
滚动数组优化
略
C++ 朴素方法 超时
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N]; //价值, 重量
int f[N][N];
int main(){
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
for(int i = 1; i <= n; i ++){ //第1个物品开始
for(int j = 0; j <= m; j ++){ //重量从0开始
for(int k = 0; k * v[i] <= j; k ++){
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k);
}
}
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
c++ 优化1
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N]; //价值, 重量
int f[N][N];
int main(){
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
for(int i = 1; i <= n; i ++){ //第1个物品开始
for(int j = 0; j <= m; j ++){ //重量从0开始
f[i][j] = f[i - 1][j]; //不要第i个物品
if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);
}
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
c++ 优化2
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N]; //价值, 重量
int f[N];
int main(){
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
for(int i = 1; i <= n; i ++){ //第1个物品开始
for(int j = v[i]; j <= m; j ++){ //重量从0开始
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
}
}
cout << f[m] << endl;
return 0;
}