题目描述
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
第 i 件物品的体积是 vi,价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包,可使这些物品的总体积不超过背包容量,且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数,N,V,用空格隔开,分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N 行,每行两个整数 vi,wi,用空格隔开,分别表示第 i 件物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数,表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例:
8
思路
dp问题主要有两个属性决定
1.状态表示f(i, j)
____所有选法
1.1 集合 _|
|____条件 1.从前i个物品中选 2.总体积不大于j;
1.2 属性 max, 其他(min, 数量)
2 状态计算 f(i, j)
按照集合划分,集合按照选择第i个物品或者不选划分
左边 不含有i物品, f(i, j) = f(i - 1, j) 一定成立
右边 含有i物品, f(i, j) = f(i - 1, j - v[i]) + wi
理解 从1...i 中选择物品,保证总体积 <= j, 并且包含第i物品
假设所有的选法都包含了第i个物品,目标是找出价值最大的选法
将每一种选法的第i个物品全部去掉,不会影响最大值是谁(打个
比,小明是班级里面的第一名,即使班里面的所有人+50分,小明
仍然是第一名),将第i个物品去掉,即f(i, j) = f(i - 1, j - v[i]),
为了包含第i个物品,所以需要保证j-v[i] >= 0,即j >= v[i]的情况下,
才能将物品i选择,最终f(i, j) = f(i - 1, j - v[i]) + w[i];
c++
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N]; //价值和重量
int f[N][N]; //状态表示
int main(){
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
for(int i = 1; i <= n; i ++){
for(int j = 0; j <= m; j ++){
f[i][j] = f[i - 1][j];
if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
}
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
c++(滚动数组优化)
优化的原因是 f(i, j) = f(i - 1, j) 和 f(i, j) = f(i - 1, j - v[i]) + wi 第i层值用到了i - 1层
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N]; //价值和重量
//int f[N][N]; //状态表示
//优化1
int f[N]; 滚动数组
int main(){
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
//for(int i = 1; i <= n; i ++){
// for(int j = 0; j <= m; j ++){
//f[i][j] = f[i - 1][j]; //优化2, 利用滚动数组原地复制
//优化3 j >= v[i], 由此可以看出, 0...v[i-1]是没必要,所以j的for需要改进, 即j从v[i]开始
//if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
//}
//}
//变化1
//for(int i = 1; i <= n; i ++){
//for(int j = v[i]; j <= m; j ++){
//f[i][j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
//这里出现了致命的问题, 而f[0, .. m - v[j]],即j - v[i] < j, 因为j从v[i]开始, j -v[i]用的是j = v[i]前面计算好的值;
//}
//}
//变化2
for(int i = 1; i <= n; i ++){
for(int j = m; j >= v[i]; j --){
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
//j从后面的m开始,这里f[j - v[i]]这个值还没有更新过,因为j >= v[i], 所有j - v[i] >= 0
// f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]); 从大到小,f[i][j] = f[i][j] 等价
// f[i][j] = f[i - 1][j - v[i]] + w[i] 等价 i-1表示不包含v[i], 当前i的上一层 i - 1(j从小到大)
}
}
cout << f[m] << endl;
return 0;
}
变化2里的第三行,好像应该是f[j]=max....
是的,改了,谢谢