题目描述

传送带上的包裹必须在D天内从一个港口运送到另一个港口。

传送带上的第i个包裹的重量为weights[i]。每一天，我们都会按给出重量的顺序往传送带上装载包裹。我们装载的重量不会超过船的最大运载重量。

返回能在D天内将传送带上的所有包裹送达的船的最低运载能力。

样例

输入：weights = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10], D = 5
输出：15
解释：
船舶最低载重 15 就能够在 5 天内送达所有包裹，如下所示：
第 1 天：1, 2, 3, 4, 5
第 2 天：6, 7
第 3 天：8
第 4 天：9
第 5 天：10

请注意，货物必须按照给定的顺序装运，因此使用载重能力为 14 的船舶并将包装分成 (2, 3, 4, 5), (1, 6, 7), (8), (9), (10) 是不允许的。 

输入：weights = [3,2,2,4,1,4], D = 3
输出：6
解释：
船舶最低载重 6 就能够在 3 天内送达所有包裹，如下所示：
第 1 天：3, 2
第 2 天：2, 4
第 3 天：1, 4

输入：weights = [1,2,3,1,1], D = 4
输出：3
解释：
第 1 天：1
第 2 天：2
第 3 天：3
第 4 天：1, 1

数据范围

1 <= D <= weights.length <= 50000
1 <= weights[i] <= 500

算法1

(二分) $O(nlog(Σw))$

思路：为什么能想到二分。首先根据y总的给出的根据数据范围反推算法，该题中的weights数组长度为50000以内，而当n≤100000 => O(nlogn) 可以推出各种sort，线段树、树状数组、set/map、heap、拓扑排序、dijkstra+heap、prim+heap、spfa、求凸包、求半平面交、二分、CDQ分治、整体二分。

继续分析，满足该题目的船体载重在什么范围。

船体的最小载重一定是最大的 weights ，最大载重一定是sum(weights)。可以这么理解因为 天数D在[1,len(weights)]之间，所以当D为1时，答案是最大载重；当D等于len(weights)时，答案是最小载重。当D在(1, len(weights))之间时，答案则在最小载重与最大载重之间。

此时答案数组已经有序，并且左右区间都满足同样的性质，故可二分。

时间复杂度：因为二分的区间为[max(weights),sum(weights)]，所以二分查找需要执行的次数为$O(log(Σw))$，每一次二分都要遍历完整个weights数组，时间为$O(n)$，所以最后的时间复杂度为$O(nlog(Σw))$。

空间复杂度：只使用了几个常量，所以空间复杂度为$O(1)$。

python 代码

class Solution:
    def shipWithinDays(self, weights: List[int], D: int) -> int:
        l, r = max(weights), sum(weights)

        while l < r:
            mid = l + r >> 1

            # 计算运输天数
            days = 0
            cur_weight = 0
            for w in weights:
                if cur_weight + w <= mid:
                    cur_weight += w
                else:
                    days += 1
                    # cur_weight应该初始化为w，否则当次w会被抛弃。
                    cur_weight = w

            # days还没算上最后一天，所以这里不能"<="
            if days < D:
                r = mid
            else:
                l = mid + 1

        return r

今日重点

先来回顾一下二分的模板代码

# 定义边界
l, r = 0, n

whlie l < r:
    # 当满足check()条件时，若时l = mid, 则前面的mid赋值记得加1。
    mid = l + r >> 1
    if check(mid):
        r = mid
    else:
        l = mid + 1

二分算法需要的条件：在check(mid)函数中，只要满足mid左边的区间都满足一定的性质，mid右边的区间也满足一定的性质即可二分。如本题所示，mid含义为船的载重，则mid满足条件时，mid的右区间一定也都满足将货物在指定天数都送达的能力；当mid不满足条件时，则mid的左区间也都不会满足将货物在指定天数内都送达的能力。

ps.1