筛法求欧拉函数（适用于1~n求欧拉的情况）

① 先写出线性筛算法的模板。
② 考虑特殊情况：若该数是质数$p$的话，那么该数的欧拉函数就是$p - 1$。
③ 每个数的欧拉函数与质因子的次数无关。例如：$N=2^{100}\times3^{100}$，但是N的欧拉函数还是$N\times(1-\frac{1}{2})\times(1-\frac{1}{3})$

④ 若$i \bmod primes[j] == 0$，由于$primes[j]$是$i$的一个质因子，并且在计算$i$的欧拉函数的时候已经计算了$primes[j]$出现的情况$(1-\frac{1}{primes[j]})$，所以$\varphi(primes[j]\times i)=primes[j]\times\varphi(i)$。

⑤ 若$i \bmod primes[j] != 0$，$primes[j]$就一定是$primes[j] \times i$的最小质因子，而且$primes[j]$不包含在$i$的质因子当中。由于$\varphi(i)=i \times (1-\frac{1}{p_1}) \times (1-\frac{1}{p_2}) \times…\times (1-\frac{1}{p_k})$，所以$\varphi(primes[j]\times i)=primes[j]\times i\times (1-\frac{1}{p_1})\times(1-\frac{1}{p_2})\times…\times(1-\frac{1}{p_k})\times(1-\frac{1}{primes[j]})$。最终就可以得到$\varphi(primes[j] \times i)=primes[j]\times \varphi(i)\times (1-\frac{1}{primes[j]})=\varphi(i)\times (primes[j]-1)$。

⑥ 代码如下所示：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1000010;
int primes[N], cnt; //primes数组存所有的质因子，cnt是下标
int phi[N]; //欧拉函数
bool st[N]; //表示每个数是否被筛掉了

LL get_eulers(int n)
{
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i ++) //线性筛
    {
        if (!st[i]) //当前没有被筛过就是质数
        {
            primes[cnt ++] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++)
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0)
            {
                phi[primes[j] * i] = phi[i] * primes[j];
                break;
            }
            phi[primes[j] * i] = phi[i] * (primes[j] - 1);
        }
    }
    LL res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        res += phi[i];
    return res;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    cout << get_eulers(n) << endl;
    return 0;
}