题目描述

P1040 [NOIP 2003 提高组] 加分二叉树

题目描述

设一个 $n$ 个节点的二叉树 $\text{tree}$ 的中序遍历为$(1,2,3,\ldots,n)$，其中数字 $1,2,3,\ldots,n$ 为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第 $i$ 个节点的分数为 $d_i$，$\text{tree}$ 及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树 $\text{subtree}$（也包含 $\text{tree}$ 本身）的加分计算方法如下：

$\text{subtree}$ 的左子树的加分 $\times$ $\text{subtree}$ 的右子树的加分 $+$ $\text{subtree}$ 的根的分数。

若某个子树为空，规定其加分为 $1$，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为 $(1,2,3,\ldots,n)$ 且加分最高的二叉树 $\text{tree}$。要求输出

1. $\text{tree}$ 的最高加分。

2. $\text{tree}$ 的前序遍历。

输入格式

第 $1$ 行 $1$ 个整数 $n$，为节点个数。

第 $2$ 行 $n$ 个用空格隔开的整数，为每个节点的分数

输出格式

第 $1$ 行 $1$ 个整数，为最高加分（$Ans \le 4,000,000,000$）。

第 $2$ 行 $n$ 个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。

输入输出样例 #1

输入 #1

5
5 7 1 2 10

输出 #1

145
3 1 2 4 5

说明/提示

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 $1 \leq n< 30$，节点的分数是小于 $100$ 的正整数，答案不超过 $4 \times 10^9$。

C++ 代码

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 35;
int dp[N][N], root[N][N], score[N];
int n;

void print(int l, int r)
{
    if (l > r) return; // 终止条件
    cout << root[l][r] << ' ';
    print(l, root[l][r] - 1); // 递归左子树
    print(root[l][r] + 1, r); // 递归右子树
}

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        cin >> score[i];
        dp[i][i] = score[i];
        root[i][i] = i;
    }

    for (int len = 1; len <= n; len ++)
    {
        for (int l = 1; l + len <= n; l ++)
        {
            int r = len + l;
            for (int k = l; k <= r; k ++)
            {
                int left = (k == l) ? 1 : dp[l][k - 1];
                int right = (k == r) ? 1 : dp[k + 1][r];
                int sum = left * right + score[k];
                if (sum > dp[l][r])
                {
                    dp[l][r] = sum;
                    root[l][r] = k;
                }
            }
        }
    }

    cout << dp[1][n] << endl;
    print(1, n);

    return 0;
}

Python 代码

import sys

n = int(input())
score = list(map(int, input().split()))
score = [0] + score

dp = [[0] * (n + 2) for _ in range(n + 2)]
root = [[0] * (n + 2) for _ in range(n + 2)]

def printOrder(l, r):
    if l > r: return
    print(root[l][r], end = ' ')
    printOrder(l, root[l][r] - 1)
    printOrder(root[l][r] + 1, r)


for i in range(1, n + 1):
    dp[i][i] = score[i]
    root[i][i] = i

for len in range(1, n):
    for l in range(1, n - len + 1):
        r = l + len
        for k in range(l, r + 1):
            left = dp[l][k - 1] if k > l else 1
            right = dp[k + 1][r] if k < r else 1
            sum_sub = left * right + dp[k][k]
            if sum_sub > dp[l][r]:
                dp[l][r] = sum_sub
                root[l][r] = k

print(dp[1][n])
printOrder(1, n)