题目描述

这个问题借用了“鱼与熊掌不可兼得”的典故，但设定了一个场景：有些人可以同时拥有多种物品（比如鱼和熊掌）。

我们需要处理以下信息：
1. 有 n 个人和 m 种不同的物品。
2. 给出了每个人所拥有的物品清单。
3. 接下来有 Q 次查询。
4. 每次查询会给出两种物品的编号（例如 x 和 y）。
5. 对于每次查询 (x, y)，我们需要计算出有多少人同时拥有物品 x 和物品 y。

输入格式：
第一行：人数 n 和物品种类数 m。
接下来 n 行：第 i 行描述第 i 个人（编号从 1 到 n，但代码中通常按 0 到 n-1 处理）拥有的物品。格式为 K M[1] M[2] ... M[K]，K 是数量，M 是物品编号。
再下一行：查询次数 Q。
最后 Q 行：每行是两个物品编号 x 和 y。

输出格式：
* 对每个查询 (x, y)，输出一行，包含一个整数，即同时拥有物品 x 和 y 的人数。

数据范围：
$1 \le n \le 10^5$ (人数)
$2 \le m \le 10^5$ (物品种类)
$0 \le K \le 10^3$ (每人拥有的物品数量)
所有人 K 的总和 $\le 10^6$ (总拥有关系数)
* $1 \le Q \le 100$ (查询次数)

样例

输入样例：

4 8       // 4 个人, 8 种物品
3 4 1 8   // 人 1 (索引 0): 拥有物品 4, 1, 8
4 7 1 8 4 // 人 2 (索引 1): 拥有物品 7, 1, 8, 4
5 6 5 1 2 3 // 人 3 (索引 2): 拥有物品 6, 5, 1, 2, 3
4 3 2 4 8 // 人 4 (索引 3): 拥有物品 3, 2, 4, 8
3         // 3 次查询
2 3       // 查询: 多少人同时拥有物品 2 和 3?
7 6       // 查询: 多少人同时拥有物品 7 和 6?
8 4       // 查询: 多少人同时拥有物品 8 和 4?

输出样例：

2
0
3

样例解释：
查询 (2, 3): 人 3 (索引 2) 拥有 {6, 5, 1, 2, 3}；人 4 (索引 3) 拥有 {3, 2, 4, 8}。共有 2 人。
查询 (7, 6): 人 2 (索引 1) 拥有 {7, 1, 8, 4}；人 3 (索引 2) 拥有 {6, 5, 1, 2, 3}。没有人同时拥有 7 和 6。共有 0 人。
* 查询 (8, 4): 人 1 (索引 0) 拥有 {4, 1, 8}；人 2 (索引 1) 拥有 {7, 1, 8, 4}；人 4 (索引 3) 拥有 {3, 2, 4, 8}。共有 3 人。

算法1

(模拟查询 + Set 优化)

思路:

解决这个问题的最直接方法是模拟查询过程：
1. 存储信息： 首先，需要一种高效的方式来存储每个人拥有的物品清单，以便后续快速查询某个人是否拥有特定物品。
2. 处理查询： 对于每一次查询 (x, y)，遍历所有 n 个人。对每个人，检查他/她是否同时拥有物品 x 和物品 y。如果满足条件，则计数器加一。遍历完所有人后，输出该查询的计数结果。

数据结构选择:

代码中选择了 vector<set<int>> s(n); 来存储信息。这是一个包含 n 个元素的 vector，其中每个元素 s[i] 是一个 set<int>。
vector 的索引 i (从 0 到 n-1) 代表了第 i+1 个人。
set<int> 用于存储第 i+1 个人拥有的所有物品的编号。选择 set 的优点在于：
* 自动去重：即使输入中同一个人有重复物品（虽然题目保证没有），set 也只会存储一份。
* 快速查找：set 内部通常基于红黑树实现，检查一个元素是否存在（使用 count() 或 find() 方法）的时间复杂度是对数级别的，即 O(log K)，其中 K 是该集合中的元素数量（即该人拥有的物品数量）。这比在无序列表（如 vector）中查找（O(K)）要快得多。

代码逻辑详解:

1. 读取输入 (人员和物品):

   • 读取人数 n 和物品种类数 m。
   • 创建 vector<set<int>> s(n);。
   • 循环 n 次，对于第 i 个人：
     • 读取他拥有的物品数量 k。
     • 再循环 k 次，读取每个物品编号 x。
     • s[i].insert(x);：将物品 x 加入第 i 个人的 set 中。插入操作的时间复杂度是 O(log K_i)，K_i 是当前 s[i] 的大小。

2. 读取输入 (查询):

   • 读取查询次数 q。

3. 处理查询:

   • 外层循环 q 次，处理每个查询。
   • 读取当前查询的两个物品编号 x 和 y。
   • 初始化当前查询的计数器 ans = 0。
   • 内层循环 n 次，遍历编号为 j (从 0 到 n-1) 的每个人。
   • 核心判断： if (s[j].count(x) and s[j].count(y))
     • s[j].count(x)：检查第 j 个人的 set 中是否存在物品 x。count() 返回 1 (存在) 或 0 (不存在)。时间复杂度 O(log K_j)。
     • s[j].count(y)：同理检查物品 y。时间复杂度 O(log K_j)。
     • and：逻辑与操作，只有当两个 count() 都返回 1 时，条件才为真，表示这个人同时拥有 x 和 y。
   • 如果条件为真，ans ++。
   • 内层循环结束后，ans 就是同时拥有 x 和 y 的总人数。
   • cout << ans << "\n"; 输出结果。

时间复杂度

1. 读取和存储物品信息：

   • 设 TotalK 为所有人拥有的物品总数 (Sum of all K)，题目保证 TotalK <= 10^6。
   • 设 K_i 为第 i 个人拥有的物品数，maxK = max(K_i) <= 1000。
   • 总的插入时间约为 Σ (K_i * log K_i) for i=0 to n-1。
   • 一个宽松的上界是 TotalK * log(maxK)。代入数据：10^6 * log(1000) ≈ 10^6 * 10 = 10^7。这部分是可接受的。

2. 处理查询：

   • 有 Q 次查询 (Q <= 100)。
   • 每次查询需要遍历 n 个人 (n <= 10^5)。
   • 对每个人 j，进行两次 set::count 操作，每次耗时 O(log K_j)。
   • 单次查询的总时间约为 Σ O(log K_j) for j=0 to n-1。其上界为 n * log(maxK)。
   • Q 次查询的总时间复杂度约为 Q * n * log(maxK)。
   • 代入数据：100 * 10^5 * log(1000) ≈ 100 * 10^5 * 10 = 10^8。

总时间复杂度 主要由查询部分决定，约为 O(TotalK * log(maxK) + Q * n * log(maxK))。虽然 O(10^8) 看起来比较大，但考虑到 log(maxK) 是个小常数（大约 10），且 Q 只有 100，这个算法在实践中通常可以通过。如果 Q 很大，这个算法可能就会超时。

空间复杂度

• 主要空间开销是存储 vector<set<int>> s。
• 所有 set 中总共存储了 TotalK 个整数。
• set 本身有额外开销（例如存储树结构的指针）。
• 总空间复杂度大致为 O(n + TotalK)（n 是 vector 的大小，TotalK 是所有 set 中元素的总数）。代入数据：O(10^5 + 10^6) = O(10^6)，这是完全可接受的。

C++ 代码

#include <bits/stdc++.h> // 引入所有标准库头文件

using namespace std; // 使用 std 命名空间
using i64 = long long; // 定义 i64 为 long long 的别名（本题未使用）

int main() {
    // 优化 C++ 输入输出流速度
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int n, m; // n: 人数, m: 物品种类数
    cin >> n >> m; // 读取 n 和 m

    // 创建一个大小为 n 的 vector，每个元素是一个 set<int>
    // s[i] 将存储第 i 个人（索引从 0 开始）拥有的物品编号集合
    vector<set<int>> s(n);
    // 循环读取 n 个人的物品清单
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) {
        int k; // 当前这个人拥有的物品数量
        cin >> k; // 读取 k
        // 循环读取 k 个物品编号
        for (int j = 0; j < k; j ++ ) {
            int x; // 物品编号
            cin >> x; // 读取 x
            s[i].insert(x); // 将物品 x 插入到第 i 个人的 set 中 (自动去重且保持有序)
                           // 插入操作复杂度 O(log k')，k' 是当前 set 大小
        }
    }

    int q; // 查询次数
    cin >> q; // 读取 q

    // 循环处理 q 次查询
    for (int i = 0; i < q; i ++ ) {
        int x, y; // 当前查询的两种物品编号
        cin >> x >> y; // 读取 x 和 y
        int ans = 0; // 初始化计数器，用于统计同时拥有 x 和 y 的人数
        // 循环遍历每一个人 j (索引从 0 到 n-1)
        for (int j = 0; j < n; j ++ ) {
            // 检查第 j 个人是否同时拥有物品 x 和物品 y
            // s[j].count(item) 检查 item 是否在集合 s[j] 中，存在返回 1，否则返回 0
            // 时间复杂度 O(log K_j)，K_j 是第 j 个人拥有的物品数
            if (s[j].count(x) and s[j].count(y)) {
                ans ++ ; // 如果同时拥有，计数器加 1
            }
        }
        // 输出本次查询的结果
        cout << ans << "\n";
    }

    return 0; // 程序正常结束
}