好的，我们来详细分析一下这道题。

题目描述

给定一个由小写字母组成的字符串 $S$ 和一个整数 $k$。我们需要计算 $S$ 中有多少个子串，这些子串至少包含 $k$ 个不同的字母。

子串是指字符串中连续的一段字符。例如，“abc” 是 “abcabc” 的子串，但 “acb” 不是。

样例

样例 1:

输入:

abcabcabca
4

输出:

0

解释: 字符串 “abcabcabca” 中没有子串包含至少 4 个不同的字母（实际上最多只有 ‘a’, ‘b’, ‘c’ 三种）。

样例 2:

输入:

abcabcabcabc
3

输出:

55

解释: 字符串 “abcabcabcabc” 长度为 12。有很多子串包含 ‘a’, ‘b’, ‘c’ 这 3 个不同的字母。例如 “abc”, “abca”, “abcab”, …, “bcabcabcabc”, …, “abcabcabcabc”。我们需要计算所有这样的子串的数量。

算法分析

暴力枚举 (会超时)

最直观的想法是枚举所有的子串。一个字符串 $S$ 的子串由其起始位置 i 和结束位置 j (其中 i <= j) 唯一确定。

1. 我们可以用两层循环枚举所有可能的 i 和 j。i 从 0 到 n-1，j 从 i 到 n-1，其中 n 是字符串 $S$ 的长度。
2. 对于每个子串 S[i...j]，我们计算它包含多少个不同的字母。这可以通过使用一个哈希集合（std::set 或 std::unordered_set）或一个频率数组（大小为 26，记录 ‘a’ 到 ‘z’ 是否出现）来实现。
3. 如果不同字母的数量大于或等于 k，我们就将计数器加一。

时间复杂度分析:

• 外层循环 i 运行 $n$ 次。
• 内层循环 j 最多运行 $n$ 次。
• 在内层循环中，提取子串 S[i...j] 并计算不同字母的数量。如果每次都重新计算，最坏情况下（例如使用 std::set）需要 $O(L \log A)$ 或 $O(L)$ 的时间，其中 $L = j - i + 1$ 是子串长度， $A$ 是字母表大小 (26)。如果使用频率数组，则是 $O(L)$ 或优化后 $O(A)$。
• 总时间复杂度约为 $O(n^3)$ 或 $O(n^2 \times A)$。

考虑到 $n$ 最大可达 $10^6$，$n^2$ 级别的复杂度（大约 $10^{12}$ 次操作）是无法接受的。我们需要更快的算法。

滑动窗口 / 双指针优化 $O(n)$

暴力枚举的主要问题在于重复计算。当我们从子串 S[i...j] 移动到 S[i...j+1] 时，我们没有利用之前计算的结果。滑动窗口（或称为双指针）技术非常适合处理这类涉及连续子数组/子串计数的问题。

核心思想:

我们尝试固定子串的右端点 end，然后找到最小的左端点 start，使得子串 S[start...end] 满足条件（至少包含 k 个不同字母）。

如果 S[start...end] 满足条件，那么任何包含 S[start...end] 并且也以 end 结尾的子串（即 S[s...end] 其中 s <= start）也一定满足条件，因为它们包含的字母集合更大或相同。

这还不够直接。我们换个思路：我们维护一个窗口 [start, end]。我们不断尝试扩大窗口的右边界 end。同时，我们维护窗口内不同字符的数量 unique。当 unique 达到 k 时，我们就找到了一个满足条件的窗口 S[start...end]。

关键点: 如果 S[start...end] 满足条件（unique >= k），那么所有以 start 为左端点，且右端点 j >= end 的子串 S[start...j] （即 S[start...end], S[start...end+1], …, S[start...n-1]）都必然满足条件。为什么？因为它们都包含了 S[start...end] 这个子串，所以它们的不同字母数至少和 S[start...end] 一样多，也就是至少为 k。

有多少个这样的子串呢？右端点 j 可以是 end, end+1, …, n-1。总共有 (n-1) - end + 1 = n - end 个。

算法流程:

1. 初始化两个指针 start = 0 和 end = 0。
2. 初始化一个频率映射 f (可以用 std::map<char, int> 或大小为 26 的数组) 来存储当前窗口 S[start...end] 中每个字符出现的次数。
3. 初始化一个变量 unique = 0 来记录当前窗口中不同字符的数量。
4. 初始化答案 ans = 0 (使用 long long 类型，因为结果可能很大)。
5. 让 end 指针从 0 遍历到 n-1：
   a. 将字符 S[end] 加入窗口：
   i. 检查 f[S[end]] 是否为 0。如果是，说明这是一个新出现的不同字符，所以 unique++。
   ii. 递增 f[S[end]]++。
   b. 现在窗口是 S[start...end]。检查条件是否满足：只要 unique >= k，就说明当前的窗口 S[start...end] 是一个有效的”基础”窗口。
   c. 当 unique >= k 时：
   i. 我们找到了一个有效的起始点 start 和当前的结束点 end。所有以 start 开头，以 end 或更后的位置结尾的子串都满足条件。这些子串的数量是 n - end。我们将这个数量加到 ans 上：ans += n - end;。
   ii. 现在，我们需要尝试缩小窗口，看看是否还能保持 unique >= k。我们尝试将窗口的左边界右移，即移除 S[start]：
   * 递减 f[S[start]]--。
   * 检查 f[S[start]] 是否变为 0。如果是，说明我们失去了一个不同的字符，所以 unique--。
   * 将 start 指针右移：start++。
   iii. 持续这个收缩过程 (while循环) 直到 unique < k。这意味着对于当前的 end，我们已经考虑完了所有可能的、能让 unique >= k 成立的 start 位置。
6. 当 end 遍历完整个字符串后，ans 就包含了所有满足条件的子串的数量。

代码逻辑解释 (对照提供的代码):

// ... (includes and setup) ...

void solve() {
    string s;
    cin >> s; // 读入字符串 S

    int k;
    cin >> k; // 读入整数 k

    int n = s.size(); // 字符串长度
    i64 ans = 0; // 结果，用 long long (i64)
    map<char, int> f; // 频率映射，记录窗口内字符计数
    int unique = 0; // 窗口内不同字符的数量
    int start = 0; // 窗口左边界

    // end 是窗口右边界，从 0 遍历到 n-1
    for (int end = 0; end < n; end ++ ) {
        // 1. 扩展窗口：加入 s[end]
        if (f[s[end]] == 0) { // 如果 s[end] 是新字符
            unique ++ ; // 不同字符数增加
        }
        f[s[end]] ++ ; // s[end] 的计数增加

        // 2. 检查并收缩窗口：只要满足条件 (unique >= k)
        while (unique >= k and start <= end) {
            // 找到了一个有效的窗口 S[start...end]
            // 所有以 start 开头，end 或之后结尾的子串都有效
            ans += n - end; // 累加这些子串的数量

            // 尝试收缩窗口：移除 s[start]
            f[s[start]] -- ; // s[start] 计数减少
            if (f[s[start]] == 0) { // 如果 s[start] 的计数变为 0
                unique -- ; // 不同字符数减少
            }
            start ++ ; // 左边界右移
        }
        // while 循环结束后，unique < k 或者 start > end (虽然这里 start <= end 条件保证不会越界)
        // 此时对于当前的 end，不能再通过增加 start 来找到有效子串了
        // 外层循环会继续增加 end，扩展窗口
    }
    cout << ans << "\n"; // 输出最终结果
}

// ... (main function) ...

例子 walkthrough (S=”abcabc”, k=3):

• n = 6, k = 3, ans = 0, start = 0, f = {}, unique = 0
• end = 0: s[0]=’a’. f={‘a’:1}, unique=1. unique < k.
• end = 1: s[1]=’b’. f={‘a’:1, ‘b’:1}, unique=2. unique < k.
• end = 2: s[2]=’c’. f={‘a’:1, ‘b’:1, ‘c’:1}, unique=3. unique >= k.
  • while (unique >= k):
    • ans += n - end = 6 - 2 = 4. ans = 4. (子串 “abc”, “abca”, “abcab”, “abcabc” 起点为 0)
    • 移除 s[start=0]=’a’. f={‘a’:0, ‘b’:1, ‘c’:1}, unique=2. start = 1.
  • while 结束，因为 unique < k.
• end = 3: s[3]=’a’. f={‘a’:1, ‘b’:1, ‘c’:1}, unique=3. unique >= k.
  • while (unique >= k):
    • ans += n - end = 6 - 3 = 3. ans = 4 + 3 = 7. (子串 “bca”, “bcab”, “bcabc” 起点为 1)
    • 移除 s[start=1]=’b’. f={‘a’:1, ‘b’:0, ‘c’:1}, unique=2. start = 2.
  • while 结束.
• end = 4: s[4]=’b’. f={‘a’:1, ‘b’:1, ‘c’:1}, unique=3. unique >= k.
  • while (unique >= k):
    • ans += n - end = 6 - 4 = 2. ans = 7 + 2 = 9. (子串 “cab”, “cabc” 起点为 2)
    • 移除 s[start=2]=’c’. f={‘a’:1, ‘b’:1, ‘c’:0}, unique=2. start = 3.
  • while 结束.
• end = 5: s[5]=’c’. f={‘a’:1, ‘b’:1, ‘c’:1}, unique=3. unique >= k.
  • while (unique >= k):
    • ans += n - end = 6 - 5 = 1. ans = 9 + 1 = 10. (子串 “abc” 起点为 3)
    • 移除 s[start=3]=’a’. f={‘a’:0, ‘b’:1, ‘c’:1}, unique=2. start = 4.
  • while 结束.
• end 循环结束。最终 ans = 10.

时间复杂度

• end 指针从 0 遍历到 n-1，共 n 步。
• start 指针也从 0 开始，最多移动到 n。
• 在 for 循环的每次迭代中，对 f 的操作（插入、查找、更新）在使用 std::map 时是 $O(\log A)$（其中 $A=26$ 是字母表大小），在使用哈希表或数组时是 $O(1)$。
• while 循环内部的操作也是类似的复杂度。关键在于 start 指针的总移动次数。虽然 while 循环可能执行多次，但每次执行都会使 start 增加 1。由于 start 最多增加到 n，所以 while 循环体内的所有操作（在整个 for 循环过程中）总共执行不超过 $O(n)$ 次。
• 因此，每个字符最多被加入窗口一次 (end 指针)，最多被移出窗口一次 (start 指针)。
• 总时间复杂度是 $O(n \log A)$ 或 $O(n)$，取决于频率映射的实现。对于小的字母表大小 $A=26$，可以认为是 $O(n)$。

空间复杂度

• 我们使用了一个频率映射 f 来存储字符计数。最多存储 $A=26$ 个不同的字符。
• 所以空间复杂度是 $O(A)$ 或 $O(1)$ (因为 A 是常数)。

C++ 代码 (重述提供的代码)

#include <bits/stdc++.h> // 包含了常用的库，包括 iostream, string, map 等

using namespace std;
using i64 = long long; // 定义 i64 为 long long 的别名，方便使用

// 处理单组测试数据的函数
void solve() {
    string s; // 存储输入的字符串
    cin >> s; // 从标准输入读取字符串

    int k; // 存储输入的整数 k
    cin >> k; // 从标准输入读取 k

    int n = s.size(); // 获取字符串 s 的长度
    i64 ans = 0; // 初始化答案计数器为 0，使用 long long 类型防止溢出
    map<char, int> f; // 字符频率映射，key 是字符，value 是该字符在当前窗口中的数量
    int unique = 0; // 当前窗口中不同字符的数量
    int start = 0; // 滑动窗口的左边界（起始索引）

    // end 是滑动窗口的右边界，从 0 遍历到 n-1
    for (int end = 0; end < n; end ++ ) {
        // --- 窗口扩张阶段 ---
        // 检查即将加入的字符 s[end] 是否是窗口中的新字符
        if (f[s[end]] == 0) {
            // 如果 s[end] 的计数为 0，说明它是新的不同字符
            unique ++ ; // 不同字符数加 1
        }
        // 将字符 s[end] 的频率计数加 1
        f[s[end]] ++ ;

        // --- 检查与收缩阶段 ---
        // 只要当前窗口 [start, end] 包含至少 k 个不同字符
        // 并且 start 没有超过 end (保证窗口有效)
        while (unique >= k and start <= end) {
            // 此时，以 start 为起点，以 end, end+1, ..., n-1 为终点的所有子串都满足条件
            // 这些子串的数量是 n - end
            ans += n - end; // 将这些子串的数量累加到答案中

            // 尝试收缩窗口，将左边界 start 右移
            // 先更新移除字符 s[start] 带来的影响
            f[s[start]] -- ; // 将 s[start] 的频率计数减 1
            // 检查移除 s[start] 后，它是否在窗口中完全消失了
            if (f[s[start]] == 0) {
                // 如果 s[start] 的计数变为 0，说明失去了一个不同字符
                unique -- ; // 不同字符数减 1
            }
            // 正式将左边界右移
            start ++ ;
        }
        // 当 while 循环结束时，表示对于当前的 end，从当前 start 开始的窗口不再满足 unique >= k
        // 外层 for 循环将继续移动 end，探索新的可能性
    }
    // 所有可能的 end 都遍历完毕后，ans 即为最终答案
    cout << ans << "\n"; // 输出结果，并换行
}

int main() {
    // 优化 C++ 输入输出速度
    ios::sync_with_stdio(false); // 关闭 C++ 标准流与 C 标准流的同步
    cin.tie(nullptr); // 解除 cin 和 cout 的绑定

    int t; // 测试数据组数
    cin >> t; // 读取测试数据组数

    // 循环处理每组测试数据
    while (t -- ) {
        solve(); // 调用 solve 函数处理单组数据
    }    

    return 0; // 程序正常结束
}