题解：树链剖分

一、题目分析

本题给定一棵树，每个节点有权值，需要进行(m)次操作，包括修改节点间路径权值、修改子树权值、查询节点间路径权值和、查询子树权值和这四种操作。

二、解题思路

本题通过树链剖分将树转化为适合用线段树处理的结构，利用深度优先搜索和线段树来实现各种操作。

（一）数据结构与变量定义

typedef long long LL;
const int N = 100010, M = N * 2;
int n, m;
int w[N], h[N], e[M], ne[M], idx;
int id[N], nw[N], cnt;
int dep[N], sz[N], top[N], fa[N], son[N];
struct Tree
{
    int l, r;
    LL add, sum;
}tr[N * 4];

• LL：定义长整型别名，用于处理较大的数值。
• N：定义节点数量的最大值，M为边数量的最大值（树的边数为(n - 1)，这里乘(2)是因为双向边）。
• n：存储树的节点数，m：存储操作的数量。
• w[N]：数组，用于存储每个节点的初始权值。
• h[N]、e[M]、ne[M]、idx：用于邻接表存储树的边信息，h是表头数组，e存储边的终点，ne指向下一条边的索引，idx是边的计数。
• id[N]：数组，记录每个节点在重链剖分后的新编号。
• nw[N]：数组，按照新编号存储节点的权值，用于构建线段树。
• cnt：用于给节点分配新编号的计数器。
• dep[N]：数组，记录每个节点的深度。
• sz[N]：数组，记录以每个节点为根的子树的节点数。
• top[N]：数组，记录每个节点所在重链的顶端节点。
• fa[N]：数组，记录每个节点的父节点。
• son[N]：数组，记录每个节点的重儿子节点（子树节点数最多的子节点）。
• Tree结构体：用于表示线段树的节点，包含区间左右端点l、r，懒标记add，区间权值和sum。

（二）辅助函数

1. 添加边函数add：

void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

向邻接表中添加一条从节点a到节点b的边。

1. 第一次深度优先搜索函数dfs1：

void dfs1(int u, int father, int depth)
{
    dep[u] = depth, fa[u] = father, sz[u] = 1;
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (j == father) continue;
        dfs1(j, u, depth + 1);
        sz[u] += sz[j];
        if (sz[son[u]] < sz[j]) son[u] = j;
    }
}

计算每个节点的深度、父节点、子树大小，并找出每个节点的重儿子。

1. 第二次深度优先搜索函数dfs2：

void dfs2(int u, int t)
{
    id[u] = ++ cnt, nw[cnt] = w[u], top[u] = t;
    if (!son[u]) return;
    dfs2(son[u], t);
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (j == fa[u] || j == son[u]) continue;
        dfs2(j, j);
    }
}

对树进行重链剖分，给节点分配新编号，确定每个节点所在重链的顶端节点。

1. 线段树向上更新函数pushup：

void pushup(int u)
{
    tr[u].sum = tr[u << 1].sum + tr[u << 1 | 1].sum;
}

根据子节点信息更新当前线段树节点的区间权值和。

1. 线段树向下更新函数pushdown：

void pushdown(int u)
{
    auto &root = tr[u], &left = tr[u << 1], &right = tr[u << 1 | 1];
    if (root.add)
    {
        left.add += root.add, left.sum += root.add * (left.r - left.l + 1);
        right.add += root.add, right.sum += root.add * (right.r - right.l + 1);
        root.add = 0;
    }
}

将当前线段树节点的懒标记下传给子节点。

1. 线段树构建函数build：

void build(int u, int l, int r)
{
    tr[u] = {l, r, 0, nw[r]};
    if (l == r) return;
    int mid = l + r >> 1;
    build(u << 1, l, mid), build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
    pushup(u);
}

构建线段树，初始化每个节点的区间和权值。

1. 线段树区间更新函数update：

void update(int u, int l, int r, int k)
{
    if (l <= tr[u].l && r >= tr[u].r)
    {
        tr[u].add += k;
        tr[u].sum += k * (tr[u].r - tr[u].l + 1);
        return;
    }
    pushdown(u);
    int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
    if (l <= mid) update(u << 1, l, r, k);
    if (r > mid) update(u << 1 | 1, l, r, k);
    pushup(u);
}

在线段树中更新指定区间的权值。

1. 线段树区间查询函数query：

LL query(int u, int l, int r)
{
    if (l <= tr[u].l && r >= tr[u].r) return tr[u].sum;
    pushdown(u);
    int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
    LL res = 0;
    if (l <= mid) res += query(u << 1, l, r);
    if (r > mid) res += query(u << 1 | 1, l, r);
    return res;
}

在线段树中查询指定区间的权值和。

1. 路径权值更新函数update_path：

void update_path(int u, int v, int k)
{
    while (top[u] != top[v])
    {
        if (dep[top[u]] < dep[top[v]]) swap(u, v);
        update(1, id[top[u]], id[u], k);
        u = fa[top[u]];
    }
    if (dep[u] < dep[v]) swap(u, v);
    update(1, id[v], id[u], k);
}

更新节点u和节点v之间路径上所有节点的权值。

1. 路径权值查询函数query_path：

LL query_path(int u, int v)
{
    LL res = 0;
    while (top[u] != top[v])
    {
        if (dep[top[u]] < dep[top[v]]) swap(u, v);
        res += query(1, id[top[u]], id[u]);
        u = fa[top[u]];
    }
    if (dep[u] < dep[v]) swap(u, v);
    res += query(1, id[v], id[u]);
    return res;
}

查询节点u和节点v之间路径上所有节点的权值和。

1. 子树权值更新函数update_tree：

void update_tree(int u, int k)
{
    update(1, id[u], id[u] + sz[u] - 1, k);
}

更新以节点u为根的子树上所有节点的权值。

1. 子树权值查询函数query_tree：

LL query_tree(int u)
{
    return query(1, id[u], id[u] + sz[u] - 1);
}

查询以节点u为根的子树上所有节点的权值和。

（三）主函数main

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &w[i]);
    memset(h, -1, sizeof h);
    for (int i = 0; i < n - 1; i ++ )
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b), add(b, a);
    }
    dfs1(1, -1, 1);
    dfs2(1, 1);
    build(1, 1, n);

    scanf("%d", &m);
    while (m -- )
    {
        int t, u, v, k;
        scanf("%d%d", &t, &u);
        if (t == 1)
        {
            scanf("%d%d", &v, &k);
            update_path(u, v, k);
        }
        else if (t == 2)
        {
            scanf("%d", &k);
            update_tree(u, k);
        }
        else if (t == 3)
        {
            scanf("%d", &v);
            printf("%lld\n", query_path(u, v));
        }
        else printf("%lld\n", query_tree(u));
    }

    return 0;
}

1. 读取节点数n和每个节点的初始权值。
2. 初始化邻接表，读取树的边信息，构建树的邻接表表示。
3. 进行两次深度优先搜索，完成树链剖分，给节点重新编号。
4. 构建线段树。
5. 读取操作数量m，依次处理每个操作：
   • 若操作类型为(1)，调用update_path函数更新路径上节点的权值。
   • 若操作类型为(2)，调用update_tree函数更新子树上节点的权值。
   • 若操作类型为(3)，调用query_path函数查询路径上节点的权值和并输出。
   • 若操作类型为(4)，调用query_tree函数查询子树上节点的权值和并输出。

四、时间复杂度和空间复杂度

（一）时间复杂度

• 初始化操作：包括读入数据、构建邻接表，时间复杂度为(O(n))。
• 树链剖分操作：两次深度优先搜索，时间复杂度为(O(n))。
• 线段树操作：构建线段树时间复杂度为(O(n))，每次操作（更新或查询）时间复杂度为(O(\log n))，总共(m)次操作，所以这部分时间复杂度为(O(m\log n))。
• 总的时间复杂度为(O(n + n + n + m\log n)=O(n + m\log n))。

（二）空间复杂度

需要存储节点权值w[N]、邻接表信息、节点新编号id[N]、新权值数组nw[N]、深度数组dep[N]、子树大小数组sz[N]、重链顶端节点数组top[N]、父节点数组fa[N]、重儿子节点数组son[N]以及线段树节点tr[N * 4]等，空间复杂度为(O(N + M + N + N + N + N + N + N + N\times4)=O(N)) 。