题解：一个简单的整数问题

一、题目分析

本题给定一个长度为(N)的数列，以及(M)条指令，指令分为两种：一是将数列中指定区间的数都加上一个值；二是查询数列中指定区间的数的和。需要根据指令输出相应的查询结果。

二、解题思路

本题采用分块算法来解决。将数列分成若干块，通过维护每块的和以及块的增量信息，实现对区间操作和查询的优化。

（一）数据结构与变量定义

typedef long long LL;
const int N = 100010, M = 350;
int n, m, len;
LL add[M], sum[M];
int w[N];

• LL：定义长整型别名，用于处理较大的数值。
• N：定义数列的最大长度。
• M：定义分块后块的最大数量（这里是估算值，实际与数列长度有关）。
• n：存储数列的实际长度。
• m：存储指令的数量。
• len：存储每块的长度。
• add[M]：数组，用于存储每块的增量（即该块所有数统一增加的值）。
• sum[M]：数组，用于存储每块的元素和。
• w[N]：数组，用于存储原始数列。

（二）辅助函数

1. 获取元素所属块的编号函数get：

int get(int i)
{
    return i / len;
}

根据元素的下标i，返回其所属块的编号。

（三）区间修改函数change

void change(int l, int r, int d)
{
    if (get(l) == get(r))  // 段内直接暴力
    {
        for (int i = l; i <= r; i ++ ) w[i] += d, sum[get(i)] += d;
    }
    else
    {
        int i = l, j = r;
        while (get(i) == get(l)) w[i] += d, sum[get(i)] += d, i ++ ;
        while (get(j) == get(r)) w[j] += d, sum[get(j)] += d, j -- ;
        for (int k = get(i); k <= get(j); k ++ ) sum[k] += len * d, add[k] += d;
    }
}

• 如果区间[l, r]完全在同一块内，直接遍历该区间内的元素，将每个元素加上d，并更新该块的和sum。
• 如果区间跨越多个块，先处理区间两端不完整的块，遍历这两个块内属于区间[l, r]的元素并更新；然后处理中间完整的块，将这些块的和sum增加len * d（len为块的长度），并记录块的增量add。

（四）区间查询函数query

LL query(int l, int r)
{
    LL res = 0;
    if (get(l) == get(r))  // 段内直接暴力
    {
        for (int i = l; i <= r; i ++ ) res += w[i] + add[get(i)];
    }
    else
    {
        int i = l, j = r;
        while (get(i) == get(l)) res += w[i] + add[get(i)], i ++ ;
        while (get(j) == get(r)) res += w[j] + add[get(j)], j -- ;
        for (int k = get(i); k <= get(j); k ++ ) res += sum[k];
    }
    return res;
}

• 如果查询区间[l, r]完全在同一块内，遍历该区间内的元素，将每个元素的值加上所属块的增量add，累加到结果res中。
• 如果查询区间跨越多个块，先处理区间两端不完整的块，遍历这两个块内属于区间[l, r]的元素，将元素值加上所属块的增量add后累加到res中；然后处理中间完整的块，直接将这些块的和sum累加到res中。

（五）主函数main

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    len = sqrt(n);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        scanf("%d", &w[i]);
        sum[get(i)] += w[i];
    }

    char op[2];
    int l, r, d;
    while (m -- )
    {
        scanf("%s%d%d", op, &l, &r);
        if (*op == 'C')
        {
            scanf("%d", &d);
            change(l, r, d);
        }
        else printf("%lld\n", query(l, r));
    }

    return 0;
}

1. 读取数列长度n和指令数量m，计算每块的长度len（取数列长度的平方根）。
2. 读取原始数列，将每个元素加入到其所属块的和sum中。
3. 循环处理每条指令：
   • 如果指令为C（修改操作），读取区间和增加值d，调用change函数进行区间修改。
   • 如果指令为Q（查询操作），调用query函数查询区间和并输出结果。

四、时间复杂度和空间复杂度

（一）时间复杂度

• 初始化操作：读取数列并计算每块的和，时间复杂度为(O(n))。
• 修改操作：同一块内修改时间复杂度为(O(\sqrt{n}))；跨块修改时，两端不完整块的处理和中间完整块的处理，时间复杂度也为(O(\sqrt{n}))。所以每次修改操作的时间复杂度为(O(\sqrt{n}))。
• 查询操作：同一块内查询时间复杂度为(O(\sqrt{n}))；跨块查询时，时间复杂度同样为(O(\sqrt{n}))。
• 总的时间复杂度为(O(M\sqrt{n}))，其中M是指令的数量。

（二）空间复杂度

需要存储数列w[N]、每块的和sum[M]以及每块的增量add[M]，空间复杂度为(O(N + \sqrt{N}))，近似为(O(N))。