题解：永无乡

一、题目分析

本题中永无乡有(n)座岛，每座岛有独特重要度并可排名。岛之间通过桥相连，存在连通关系。有两种操作，一是在两座岛间建桥（B x y），二是询问与某岛连通的所有岛中第(k)重要的岛的编号（Q x k） 。

二、解题思路

本题结合并查集和Splay树来解决。并查集用于维护岛之间的连通性，Splay树用于在每个连通分量中快速查找第(k)小的元素（即第(k)重要的岛）。

（一）数据结构定义

1. Splay树节点定义

struct Node
{
    int s[2], p, v, id;
    int size;

    void init(int _v, int _id, int _p)
    {
        v = _v, id = _id, p = _p;
        size = 1;
    }
}tr[N];

定义节点结构体Node，包含左右子节点指针s[2]、父节点指针p、节点值v（表示岛的重要度）、岛的编号id以及子树大小size。init函数用于初始化节点。
2. 其他变量

int root[N], idx;
int p[N];

root[N]存储每个连通分量对应的Splay树的根节点；idx用于给Splay树节点编号；p[N]是并查集数组。

（二）并查集操作函数

int find(int x)
{
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

查找节点(x)所在连通分量的根节点，同时进行路径压缩。

（三）Splay树基本操作函数

1. 更新节点大小函数pushup

void pushup(int x)
{
    tr[x].size = tr[tr[x].s[0]].size + tr[tr[x].s[1]].size + 1;
}

根据左右子树的大小更新当前节点的子树大小。
2. 旋转函数rotate

void rotate(int x)
{
    int y = tr[x].p, z = tr[y].p;
    int k = tr[y].s[1] == x;
    tr[z].s[tr[z].s[1] == y] = x, tr[x].p = z;
    tr[y].s[k] = tr[x].s[k ^ 1], tr[tr[x].s[k ^ 1]].p = y;
    tr[x].s[k ^ 1] = y, tr[y].p = x;
    pushup(y), pushup(x);
}

对节点(x)进行旋转操作，根据(x)是其父节点(y)的左儿子还是右儿子，进行相应的旋转，并更新节点大小。
3. Splay操作函数splay

void splay(int x, int k, int b)
{
    while (tr[x].p != k)
    {
        int y = tr[x].p, z = tr[y].p;
        if (z != k)
            if ((tr[y].s[1] == x) ^ (tr[z].s[1] == y)) rotate(x);
            else rotate(y);
        rotate(x);
    }
    if (!k) root[b] = x;
}

将节点(x)通过旋转操作调整到节点(k)的子节点位置（若(k = 0)，则调整到根节点），并更新对应连通分量的根节点。
4. 插入函数insert

void insert(int v, int id, int b)
{
    int u = root[b], p = 0;
    while (u) p = u, u = tr[u].s[v > tr[u].v];
    u = ++ idx;
    if (p) tr[p].s[v > tr[p].v] = u;
    tr[u].init(v, id, p);
    splay(u, 0, b);
}

向连通分量(b)对应的Splay树中插入值为v、编号为id的节点，先找到合适的插入位置，然后插入节点并将其Splay到根节点。
5. 获取第k小元素编号的函数get_k

int get_k(int k, int b)
{
    int u = root[b];
    while (u)
    {
        if (tr[tr[u].s[0]].size >= k) u = tr[u].s[0];
        else if (tr[tr[u].s[0]].size + 1 == k) return tr[u].id;
        else k -= tr[tr[u].s[0]].size + 1, u = tr[u].s[1];
    }
    return -1;
}

在连通分量(b)对应的Splay树中找到第k小的元素的编号，通过比较左子树大小和k的值，在树中进行搜索并返回编号。

（四）辅助函数dfs

void dfs(int u, int b)
{
    if (tr[u].s[0]) dfs(tr[u].s[0], b);
    if (tr[u].s[1]) dfs(tr[u].s[1], b);
    insert(tr[u].v, tr[u].id, b);
}

通过深度优先搜索遍历Splay树，将节点插入到另一个连通分量的Splay树中，用于合并两个连通分量的Splay树。

（五）主函数main

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        p[i] = root[i] = i;
        int v;
        scanf("%d", &v);
        tr[i].init(v, i, 0);
    }
    idx = n;

    while (m -- )
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        a = find(a), b = find(b);
        if (a != b)
        {
            if (tr[root[a]].size > tr[root[b]].size) swap(a, b);
            dfs(root[a], b);
            p[a] = b;
        }
    }

    scanf("%d", &m);
    while (m -- )
    {
        char op[2];
        int a, b;
        scanf("%s%d%d", op, &a, &b);
        if (*op == 'B')
        {
            a = find(a), b = find(b);
            if (a != b)
            {
                if (tr[root[a]].size > tr[root[b]].size) swap(a, b);
                dfs(root[a], b);
                p[a] = b;
            }
        }
        else
        {
            a = find(a);
            if (tr[root[a]].size < b) puts("-1");
            else printf("%d\n", get_k(b, a));
        }
    }

    return 0;
}

1. 读取岛的数量n和一开始存在的桥的数量m，初始化并查集数组p和每个岛对应的Splay树的根节点root，同时读入每座岛的重要度并初始化Splay树节点。
2. 处理一开始存在的桥，通过并查集判断桥两端的岛是否属于不同连通分量，若是，则将较小的Splay树合并到较大的Splay树中。
3. 读取新的操作数量m，循环处理每个操作：
   • 若操作是B x y（建桥），通过并查集判断两座岛是否属于不同连通分量，若是，则将较小的Splay树合并到较大的Splay树中。
   • 若操作是Q x k（查询），先找到岛x所在连通分量的根节点，若连通分量中岛的数量小于k，输出-1；否则通过get_k函数找到第k小的岛的编号并输出。

四、时间复杂度和空间复杂度

（一）时间复杂度

• 并查集操作：每次查找时间复杂度接近(O(1))（经过路径压缩），合并操作时间复杂度也接近(O(1))（启发式合并）。
• Splay树操作：插入、旋转、Splay操作和查询第(k)小元素的时间复杂度均为(O(\log n))。
• 总的时间复杂度为(O((n + m)\log n))，其中n是岛的数量，m是操作的总数。

（二）空间复杂度

Splay树最多有(n + n\log n)个节点（考虑启发式合并的情况），并查集数组和其他辅助变量空间复杂度为(O(n))，所以总的空间复杂度为(O(n + n\log n))，近似为(O(n\log n))。