题解：志愿者招募

一、题目分析

本题中布布需要为持续(N)天的奥运新项目招募志愿者，已知每天至少需要的人数，以及(M)类志愿者，每类志愿者从第(S_i)天工作到第(T_i)天，招募费用是每人(C_i)元。目标是设计一种招募方案，使得花费最少的费用就能招募到足够的志愿者。

二、解题思路

本题通过构建网络流模型，利用费用流算法（基于EK算法的费用流实现）来求解最小招募费用。

（一）节点设置

设置超级源点(S = 0)和超级汇点(T = n + 2)，另外为项目的每一天设置一个节点，即节点(1)到节点(n)分别对应第(1)天到第(n)天，节点(n + 1)辅助处理最后一天的流量关系。

（二）边的设置

1. 处理每天人数需求的边：
   从第(1)天到第(n)天，依次读取每天至少需要的人数。设前一天需要人数为(last)，当天需要人数为(cur)。
   • 若(last > cur)，说明前一天多出来的人数可以满足当天部分需求，则从超级源点(S)到当天节点(i)连一条边，容量为(last - cur)，费用为(0)。
   • 若(last < cur)，说明当天还缺(cur - last)个人，则从当天节点(i)到超级汇点(T)连一条边，容量为(cur - last)，费用为(0)。
   • 从节点(i)到节点(i + 1)连一条边，容量为(INF - cur)，费用为(0)。这表示当天除了满足当天需求外，剩余的人数（理论上可以无限多）可以流到下一天，同时也限制了从前面几天流过来的人数总和不能超过当天需求的无穷大减去当天实际需求，避免流量不合理。
     处理完(n)天的需求后，从超级源点(S)到节点(n + 1)连一条边，容量为最后一天的人数需求(last)，费用为(0)，用于平衡流量。
2. 处理志愿者类型的边：
   对于每一类志愿者，从其工作结束的下一天节点(b + 1)到开始工作的当天节点(a)连一条边，容量为无穷大(INF)，费用为招募这类志愿者每人的费用(c)。这表示可以从工作结束后的时间点招募这类志愿者，使其在工作时间段内提供服务，且招募人数理论上无上限，费用为固定值。

（三）费用流算法求解

1. 添加边函数add：用于在邻接表中添加边及其反向边，设置正向边和反向边的终点、容量和费用，方便在增广路径时处理流量的退还和费用的计算。
2. 寻找增广路径（spfa函数）：使用spfa算法寻找费用最小的增广路径（因为要使总花费最小）。初始化距离数组d为正无穷大，最小剩余容量数组incf为0，将源点加入队列并设置相关初始值。在队列不为空时，遍历节点的邻接边，更新邻接点的距离、前驱边和最小剩余容量，若邻接点不在队列中则加入队列。当队列为空时，根据汇点的最小剩余容量判断是否找到增广路径。
3. 更新流量与费用（EK函数）：当找到增广路径后，获取汇点的最小剩余容量(t)，更新总费用（累加(t * d[T])），并沿着增广路径更新边的容量（正向边减去(t)，反向边加上(t)）。不断重复寻找增广路径和更新的过程，直到不存在增广路径，返回的总费用即为满足志愿者招募需求的最小花费。

（四）main函数流程

1. 读取项目天数(n)和志愿者种类数(m)，设置超级源点(S)和超级汇点(T)的编号，并初始化邻接表。
2. 依次读取每天至少需要的人数，按照规则在源点、汇点和每天对应的节点间连边。
3. 依次读取每类志愿者的工作起始和结束时间以及招募费用，按照规则在相应节点间连边。
4. 调用EK函数计算并输出满足志愿者招募需求的最小花费。

三、代码实现细节

（一）头文件与全局变量

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010, M = 24010, INF = 1e8;

int n, m, S, T;
int h[N], e[M], f[M], w[M], ne[M], idx;
int q[N], d[N], pre[N], incf[N];
bool st[N];

• 引入输入输出、字符串操作和算法相关头文件，并使用标准命名空间。
• 定义常量N表示节点最大数量，M表示边的最大数量，INF表示无穷大。
• 定义变量n为项目天数，m为志愿者种类数，S、T表示超级源点和超级汇点。
• 定义数组h[N]为邻接表头数组，e[M]存储边的终点，f[M]存储边的容量，w[M]存储边的费用，ne[M]存储同一起点下一条边的编号，idx用于记录边的编号。
• 定义数组q[N]为spfa算法的队列，d[N]记录从源点到各点的距离，pre[N]记录前驱边，incf[N]记录从源点到各点的最小剩余容量。
• 定义布尔数组st[N]用于标记节点是否在队列中。

（二）添加边函数add

void add(int a, int b, int c, int d)
{
    e[idx] = b, f[idx] = c, w[idx] = d, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
    e[idx] = a, f[idx] = 0, w[idx] = -d, ne[idx] = h[b], h[b] = idx ++ ;
}

该函数用于添加边及其反向边，设置正向边和反向边的相关参数。

（三）spfa函数

bool spfa()
{
    int hh = 0, tt = 1;
    memset(d, 0x3f, sizeof d);
    memset(incf, 0, sizeof incf);
    q[0] = S, d[S] = 0, incf[S] = INF;
    while (hh != tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];
        if (hh == N) hh = 0;
        st[t] = false;

        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            int ver = e[i];
            if (f[i] && d[ver] > d[t] + w[i])
            {
                d[ver] = d[t] + w[i];
                pre[ver] = i;
                incf[ver] = min(f[i], incf[t]);
                if (!st[ver])
                {
                    q[tt ++ ] = ver;
                    if (tt == N) tt = 0;
                    st[ver] = true;
                }
            }
        }
    }
    return incf[T] > 0;
}

• 初始化队列头指针hh = 0，尾指针tt = 1，距离数组d为正无穷大，最小剩余容量数组incf为0。将源点加入队列并设置初始值。
• 当队列不为空时，取出队头节点t，标记该节点不在队列中。遍历节点t的邻接边，更新邻接点信息，若邻接点不在队列中则加入队列。
• 根据汇点的最小剩余容量判断是否找到增广路径。

（四）EK函数

int EK()
{
    int cost = 0;
    while (spfa())
    {
        int t = incf[T];
        cost += t * d[T];
        for (int i = T; i != S; i = e[pre[i] ^ 1])
        {
            f[pre[i]] -= t;
            f[pre[i] ^ 1] += t;
        }
    }
    return cost;
}

• 初始化总费用cost为0。
• 当存在增广路径时，获取汇点的最小剩余容量t，更新总费用并沿着增广路径更新边的容量。
• 当不存在增广路径时，返回总费用。

（五）main函数

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    S = 0, T = n + 2;
    memset(h, -1, sizeof h);
    int last = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        int cur;
        scanf("%d", &cur);
        if (last > cur) add(S, i, last - cur, 0);
        else if (last < cur) add(i, T, cur - last, 0);
        add(i, i + 1, INF - cur, 0);
        last = cur;
    }
    add(S, n + 1, last, 0);

    while (m -- )
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(b + 1, a, INF, c);
    }

    printf("%d\n", EK());
    return 0;
}

• 读取相关参数，设置源点和汇点编号，初始化邻接表。
• 读取每天至少需要的人数，构建与人数需求相关的边。
• 读取每类志愿者的信息，构建与志愿者类型相关的边。
• 调用EK函数输出满足志愿者招募需求的最小花费。

四、时间复杂度和空间复杂度

（一）时间复杂度

• 建图阶段：处理每天人数需求需要遍历(n)天，时间复杂度为(O(n))；处理(m)类志愿者需要遍历(m)次，时间复杂度为(O(m))。所以建图的总时间复杂度为(O(n + m))。
• 费用流算法阶段：每次spfa寻找增广路径的时间复杂度在最坏情况下为(O(N))，而基于spfa的费用流算法最多执行(O(M))次增广（(M)为边数）。边数(M)与(n)和(m)相关，约为(O(n + m))，所以费用流算法的时间复杂度为(O(N \times M)=O((n + m)^2))。因此，总的时间复杂度为(O((n + m)^2))。

（二）空间复杂度

主要空间消耗在存储图的邻接表以及辅助数组上。邻接表的空间复杂度为(O(M)=O(n + m))，辅助数组（如队列、距离数组、前驱数组等）的空间复杂度为(O(N)=O(n))。所以总的空间复杂度为(O(n + m))。