题解：餐巾计划问题

一、题目分析

本题中餐厅在连续(N)天里每天对餐巾的需求量不同，餐厅有购买新餐巾、快洗旧餐巾、慢洗旧餐巾等多种处理餐巾的方式，每种方式的成本和所需时间不同。要求设计算法合理安排(N)天中餐巾的使用计划，使得总的花费最小。

二、解题思路

本题通过构建网络流模型，利用费用流算法（基于EK算法的费用流实现）来求解最小花费。

（一）节点设置

为每天设置两个节点，(i)表示第(i)天产生脏餐巾的节点，(n + i)表示第(i)天需要干净餐巾的节点。另外设置超级源点(S = 0)和超级汇点(T = n * 2 + 1)。

（二）边的设置

1. 从超级源点(S)到节点(i)连一条边，容量为第(i)天的餐巾需求量(r)，费用为(0)。这表示源点提供每天产生的脏餐巾数量。
2. 从节点(n + i)到超级汇点(T)连一条边，容量为第(i)天的餐巾需求量(r)，费用为(0)。这表示每天所需的干净餐巾流向汇点。
3. 从超级源点(S)到节点(n + i)连一条边，容量为无穷大(INF)，费用为购买新餐巾的单价(p)。表示可以从源点购买新餐巾满足当天需求。
4. 若(i < n)，从节点(i)到节点(i + 1)连一条边，容量为无穷大(INF)，费用为(0)。表示脏餐巾可以留到下一天处理。
5. 若(i + x <= n)（(x)为快洗所需天数），从节点(i)到节点(n + i + x)连一条边，容量为无穷大(INF)，费用为快洗一块餐巾的费用(xp)。表示第(i)天的脏餐巾可以送去快洗，在(i + x)天得到干净餐巾。
6. 若(i + y <= n)（(y)为慢洗所需天数），从节点(i)到节点(n + i + y)连一条边，容量为无穷大(INF)，费用为慢洗一块餐巾的费用(yp)。表示第(i)天的脏餐巾可以送去慢洗，在(i + y)天得到干净餐巾。

（三）费用流算法求解

1. 添加边函数add：用于在邻接表中添加边及其反向边，设置正向边和反向边的终点、容量和费用，方便在增广路径时处理流量的退还和费用的计算。
2. 寻找增广路径（spfa函数）：使用spfa算法寻找费用最小的增广路径（因为要使总花费最小）。初始化距离数组d为正无穷大，最小剩余容量数组incf为0，将源点加入队列并设置相关初始值。在队列不为空时，遍历节点的邻接边，更新邻接点的距离、前驱边和最小剩余容量，若邻接点不在队列中则加入队列。当队列为空时，根据汇点的最小剩余容量判断是否找到增广路径。
3. 更新流量与费用（EK函数）：当找到增广路径后，获取汇点的最小剩余容量(t)，更新总费用（累加(t * d[T])），并沿着增广路径更新边的容量（正向边减去(t)，反向边加上(t)）。不断重复寻找增广路径和更新的过程，直到不存在增广路径，返回的总费用即为满足需求的最小花费。

（四）main函数流程

1. 读取天数(n)、购买新餐巾单价(p)、快洗天数(x)、快洗单价(xp)、慢洗天数(y)、慢洗单价(yp)，设置超级源点(S)和超级汇点(T)的编号，并初始化邻接表。
2. 依次读取每天的餐巾需求量(r)，并按照上述规则在相应节点间连边。
3. 调用EK函数计算并输出满足餐巾需求的最小花费。

三、代码实现细节

（一）头文件与全局变量

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1610, M = 10000, INF = 1e8;

int n, p, x, xp, y, yp, S, T;
int h[N], e[M], f[M], w[M], ne[M], idx;
int q[N], d[N], pre[N], incf[N];
bool st[N];

• 引入输入输出、字符串操作和算法相关头文件，并使用标准命名空间。
• 定义常量N表示节点最大数量，M表示边的最大数量，INF表示无穷大。
• 定义变量n为天数，p为购买新餐巾单价，x为快洗天数，xp为快洗单价，y为慢洗天数，yp为慢洗单价，S、T表示超级源点和超级汇点。
• 定义数组h[N]为邻接表头数组，e[M]存储边的终点，f[M]存储边的容量，w[M]存储边的费用，ne[M]存储同一起点下一条边的编号，idx用于记录边的编号。
• 定义数组q[N]为spfa算法的队列，d[N]记录从源点到各点的距离，pre[N]记录前驱边，incf[N]记录从源点到各点的最小剩余容量。
• 定义布尔数组st[N]用于标记节点是否在队列中。

（二）添加边函数add

void add(int a, int b, int c, int d)
{
    e[idx] = b, f[idx] = c, w[idx] = d, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
    e[idx] = a, f[idx] = 0, w[idx] = -d, ne[idx] = h[b], h[b] = idx ++ ;
}

该函数用于添加边及其反向边，设置正向边和反向边的相关参数。

（三）spfa函数

bool spfa()
{
    int hh = 0, tt = 1;
    memset(d, 0x3f, sizeof d);
    memset(incf, 0, sizeof incf);
    q[0] = S, d[S] = 0, incf[S] = INF;
    while (hh != tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];
        if (hh == N) hh = 0;
        st[t] = false;
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            int ver = e[i];
            if (f[i] && d[ver] > d[t] + w[i])
            {
                d[ver] = d[t] + w[i];
                pre[ver] = i;
                incf[ver] = min(f[i], incf[t]);
                if (!st[ver])
                {
                    q[tt ++ ] = ver;
                    if (tt == N) tt = 0;
                    st[ver] = true;
                }
            }
        }
    }
    return incf[T] > 0;
}

• 初始化队列头指针hh = 0，尾指针tt = 1，距离数组d为正无穷大，最小剩余容量数组incf为0。将源点加入队列并设置初始值。
• 当队列不为空时，取出队头节点t，标记该节点不在队列中。遍历节点t的邻接边，更新邻接点信息，若邻接点不在队列中则加入队列。
• 根据汇点的最小剩余容量判断是否找到增广路径。

（四）EK函数

int EK()
{
    int cost = 0;
    while (spfa())
    {
        int t = incf[T];
        cost += t * d[T];
        for (int i = T; i != S; i = e[pre[i] ^ 1])
        {
            f[pre[i]] -= t;
            f[pre[i] ^ 1] += t;
        }
    }
    return cost;
}

• 初始化总费用cost为0。
• 当存在增广路径时，获取汇点的最小剩余容量t，更新总费用并沿着增广路径更新边的容量。
• 当不存在增广路径时，返回总费用。

（五）main函数

int main()
{
    scanf("%d%d%d%d%d%d", &n, &p, &x, &xp, &y, &yp);
    S = 0, T = n * 2 + 1;
    memset(h, -1, sizeof h);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        int r;
        scanf("%d", &r);
        add(S, i, r, 0);
        add(n + i, T, r, 0);
        add(S, n + i, INF, p);
        if (i < n) add(i, i + 1, INF, 0);
        if (i + x <= n) add(i, n + i + x, INF, xp);
        if (i + y <= n) add(i, n + i + y, INF, yp);
    }
    printf("%d\n", EK());
    return 0;
}

• 读取相关参数，设置源点和汇点编号，初始化邻接表。
• 读取每天的餐巾需求量，并构建相应的边。
• 调用EK函数输出满足餐巾需求的最小花费。

四、时间复杂度和空间复杂度

（一）时间复杂度

• 建图阶段：需要遍历(n)天，为每天构建相关的边，时间复杂度为(O(n))。
• 费用流算法阶段：每次spfa寻找增广路径的时间复杂度在最坏情况下为(O(N))，而基于spfa的费用流算法最多执行(O(M))次增广（(M)为边数）。边数(M)与(n)相关，约为(O(n))，所以费用流算法的时间复杂度为(O(N \times M)=O(n^2))。因此，总的时间复杂度为(O(n^2))。

（二）空间复杂度

主要空间消耗在存储图的邻接表以及辅助数组上。邻接表的空间复杂度为(O(M)=O(n))，辅助数组（如队列、距离数组、前驱数组等）的空间复杂度为(O(N))。所以总的空间复杂度为(O(n))。