题解：K取方格数

一、题目分析

本题给定一个(N×N)的矩形网格，每个格子里有一个非负整数。要求从左上角到右下角安排(K)条路线，每一步只能往下或往右走，沿途经过的格子中的整数会被取走，若多条路线重复经过一个格子，只取一次，目标是求出能取得的整数的和的最大值。

二、解题思路

本题通过构建网络流模型，利用费用流算法（基于EK算法的费用流实现）来求解最大和。

（一）节点编号与映射

为方便处理，定义get函数，将二维网格中的坐标((x, y))映射为唯一的节点编号。每个网格位置对应两个节点，get(x, y, 0)表示流入该位置的节点，get(x, y, 1)表示流出该位置的节点。

（二）构建网络流图

1. 节点设置：定义超级源点S和超级汇点T。源点编号为2 * n * n，汇点编号为S + 1。
2. 边的设置：
   • 从超级源点S到左上角位置的流入节点get(0, 0, 0)连一条边，容量为k，费用为0。表示源点可以发出(k)条路径。
   • 从右下角位置的流出节点get(n - 1, n - 1, 1)到超级汇点T连一条边，容量为k，费用为0。表示最多(k)条路径可以到达汇点。
   • 对于网格中的每个位置((x, y))：
     • 从流入节点get(x, y, 0)到流出节点get(x, y, 1)连两条边。一条边容量为1，费用为该位置的数值c，表示该位置的数值只能被取一次；另一条边容量为无穷大INF，费用为0，用于处理路径经过该位置但数值已被取走的情况。
     • 若下方存在位置((x + 1, y))，则从当前位置的流出节点get(x, y, 1)到下方位置的流入节点get(x + 1, y, 0)连一条边，容量为无穷大INF，费用为0，表示路径可以向下移动。
     • 若右方存在位置((x, y + 1))，则从当前位置的流出节点get(x, y, 1)到右方位置的流入节点get(x, y + 1, 0)连一条边，容量为无穷大INF，费用为0，表示路径可以向右移动。

（三）费用流算法求解

1. 添加边函数add：用于在邻接表中添加边及其反向边，设置正向边和反向边的终点、容量和费用，方便在增广路径时处理流量的退还和费用的计算。
2. 寻找增广路径（spfa函数）：使用spfa算法寻找费用最大的增广路径（因为要使取得的整数和最大）。初始化距离数组d为负无穷大，最小剩余容量数组incf为0，将源点加入队列并设置相关初始值。在队列不为空时，遍历节点的邻接边，更新邻接点的距离、前驱边和最小剩余容量，若邻接点不在队列中则加入队列。当队列为空时，根据汇点的最小剩余容量判断是否找到增广路径。
3. 更新流量与费用（EK函数）：当找到增广路径后，获取汇点的最小剩余容量(t)，更新总费用（累加(t * d[T])），并沿着增广路径更新边的容量（正向边减去(t)，反向边加上(t)）。不断重复寻找增广路径和更新的过程，直到不存在增广路径，返回的总费用即为能取得的整数的最大和。

（四）main函数流程

1. 读取矩形网格的大小n和路径数量k，并设置超级源点S和超级汇点T的编号，初始化邻接表。
2. 在源点与左上角节点、右下角节点与汇点之间连边。
3. 读取矩形网格中的所有数值，并按照上述规则在网格节点之间连边。
4. 调用EK函数计算并输出能取得的整数的最大和。

三、代码实现细节

（一）头文件与全局变量

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 5010, M = 20010, INF = 1e8;

int n, k, S, T;
int h[N], e[M], f[M], w[M], ne[M], idx;
int q[N], d[N], pre[N], incf[N];
bool st[N];

• 引入输入输出、字符串操作和算法相关头文件，并使用标准命名空间。
• 定义常量N表示节点最大数量，M表示边的最大数量，INF表示无穷大。
• 定义变量n、k分别表示矩形网格的边长和路径数量，S、T表示超级源点和超级汇点。
• 定义数组h[N]为邻接表头数组，e[M]存储边的终点，f[M]存储边的容量，w[M]存储边的费用，ne[M]存储同一起点下一条边的编号，idx用于记录边的编号。
• 定义数组q[N]为spfa算法的队列，d[N]记录从源点到各点的距离，pre[N]记录前驱边，incf[N]记录从源点到各点的最小剩余容量。
• 定义布尔数组st[N]用于标记节点是否在队列中。

（二）节点编号函数get

int get(int x, int y, int t)
{
    return (x * n + y) * 2 + t;
}

该函数根据网格坐标((x, y))和节点类型标识t（(0)表示流入节点，(1)表示流出节点）计算出唯一的节点编号。

（三）添加边函数add

void add(int a, int b, int c, int d)
{
    e[idx] = b, f[idx] = c, w[idx] = d, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
    e[idx] = a, f[idx] = 0, w[idx] = -d, ne[idx] = h[b], h[b] = idx ++ ;
}

该函数用于添加边及其反向边，设置正向边和反向边的相关参数。

（四）spfa函数

bool spfa()
{
    int hh = 0, tt = 1;
    memset(d, -0x3f, sizeof d);
    memset(incf, 0, sizeof incf);
    q[0] = S, d[S] = 0, incf[S] = INF;
    while (hh != tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];
        if (hh == N) hh = 0;
        st[t] = false;

        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            int ver = e[i];
            if (f[i] && d[ver] < d[t] + w[i])
            {
                d[ver] = d[t] + w[i];
                pre[ver] = i;
                incf[ver] = min(incf[t], f[i]);
                if (!st[ver])
                {
                    q[tt ++ ] = ver;
                    if (tt == N) tt = 0;
                    st[ver] = true;
                }
            }
        }
    }
    return incf[T] > 0;
}

• 初始化队列头指针hh = 0，尾指针tt = 1，距离数组d为负无穷大，最小剩余容量数组incf为0。将源点加入队列并设置初始值。
• 当队列不为空时，取出队头节点(t)，标记该节点不在队列中。遍历节点(t)的邻接边，更新邻接点信息，若邻接点不在队列中则加入队列。
• 根据汇点的最小剩余容量判断是否找到增广路径。

（五）EK函数

int EK()
{
    int cost = 0;
    while (spfa())
    {
        int t = incf[T];
        cost += t * d[T];
        for (int i = T; i != S; i = e[pre[i] ^ 1])
        {
            f[pre[i]] -= t;
            f[pre[i] ^ 1] += t;
        }
    }
    return cost;
}

• 初始化总费用cost为0。
• 当存在增广路径时，获取汇点的最小剩余容量(t)，更新总费用并沿着增广路径更新边的容量。
• 当不存在增广路径时，返回总费用。

（六）main函数

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &k);
    S = 2 * n * n, T = S + 1;
    memset(h, -1, sizeof h);
    add(S, get(0, 0, 0), k, 0);
    add(get(n - 1, n - 1, 1), T, k, 0);
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
        for (int j = 0; j < n; j ++ )
        {
            int c;
            scanf("%d", &c);
            add(get(i, j, 0), get(i, j, 1), 1, c);
            add(get(i, j, 0), get(i, j, 1), INF, 0);
            if (i + 1 < n) add(get(i, j, 1), get(i + 1, j, 0), INF, 0);
            if (j + 1 < n) add(get(i, j, 1), get(i, j + 1, 0), INF, 0);
        }

    printf("%d\n", EK());

    return 0;
}

• 读取矩形网格的大小和路径数量，设置源点和汇点编号，初始化邻接表。
• 在源点与左上角节点、右下角节点与汇点之间连边。
• 读取网格中的数值，并在网格节点之间连边。
• 调用EK函数输出能取得的整数的最大和。

四、时间复杂度和空间复杂度

（一）时间复杂度

• 建图阶段：构建网络流图需要遍历(N×N)的网格，时间复杂度为(O(N^2))，每次添加边的操作时间复杂度为常数，所以建图总时间复杂度为(O(N^2))。
• 费用流算法阶段：每次spfa寻找增广路径的时间复杂度在最坏情况下为(O(N))，而基于spfa的费用流算法最多执行(O(M))次增广（(M)为边数）。边数(M)与(N)相关，约为(O(N^2))，所以费用流算法的时间复杂度为(O(N×N^2)=O(N^3))。因此，总的时间复杂度为(O(N^3))。

（二）空间复杂度

主要空间消耗在存储图的邻接表以及辅助数组上。邻接表的空间复杂度为(O(M)=O(N^2))，辅助数组（如队列、距离数组、前驱数组等）的空间复杂度为(O(N))。所以总的空间复杂度为(O(N^2))。