题解：分配问题

一、题目分析

本题要求将(n)件工作分配给(n)个人，每个人做每件工作会产生不同的效益(c_{ij})，需要找出最优分配方案（最大总效益）和最差分配方案（最小总效益）。

二、解题思路

本题通过构建网络流模型，利用费用流算法（基于EK算法的费用流实现）来求解最优和最差分配方案。

（一）构建网络流图

1. 节点设置：定义超级源点(S = 0)和超级汇点(T = n * 2 + 1)。将(n)个人编号为(1)到(n)，(n)件工作编号为(n + 1)到(n * 2)。
2. 边的设置：
   • 从超级源点(S)向每个人节点(i)连一条边，容量为(1)，费用为(0)。表示源点可以向每个人分配工作。
   • 从每件工作节点(n + j)向超级汇点(T)连一条边，容量为(1)，费用为(0)。表示每件工作最终要流向汇点。
   • 从每个人节点(i)向每件工作节点(n + j)连一条边，容量为(1)，费用为(c_{ij})（即第(i)个人做第(j)件工作产生的效益）。表示人和工作之间的分配关系及相应效益。

（二）费用流算法求解最差分配方案

利用spfa函数寻找从源点(S)到汇点(T)的增广路径（这里增广路径的费用表示总效益），EK函数在找到增广路径后更新流量和费用。不断重复这个过程，直到不存在增广路径，此时得到的费用就是最差分配方案下的最小总效益。

（三）求解最优分配方案

在计算完最差分配方案后，对边的容量和费用进行调整：将正向边和反向边的容量相加（即(f[i] += f[i ^ 1], f[i ^ 1] = 0)），同时将费用取相反数（即(w[i] = -w[i], w[i ^ 1] = -w[i ^ 1])）。然后再次调用EK函数，此时得到的费用取相反数后就是最优分配方案下的最大总效益。

（四）关键函数说明

1. add函数：用于在邻接表中添加边及其反向边，设置正向边和反向边的终点、容量和费用，方便在增广路径时处理流量的退还和费用的计算。
2. spfa函数：使用spfa算法寻找费用最小的增广路径。初始化距离数组d为无穷大，最小剩余容量数组incf为(0)，将源点加入队列并设置相关初始值。在队列不为空时，遍历节点的邻接边，更新邻接点的距离、前驱边和最小剩余容量，若邻接点不在队列中则加入队列。当队列为空时，根据汇点的最小剩余容量判断是否找到增广路径。
3. EK函数：当找到增广路径后，获取汇点的最小剩余容量(t)，更新总费用（累加(t * d[T])），并沿着增广路径更新边的容量（正向边减去(t)，反向边加上(t)）。不断重复寻找增广路径和更新的过程，直到不存在增广路径，返回总费用。

三、代码实现细节

（一）头文件与全局变量

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 110, M = 5210, INF = 1e8;

int n, S, T;
int h[N], e[M], f[M], w[M], ne[M], idx;
int q[N], d[N], pre[N], incf[N];
bool st[N];

• 引入输入输出、字符串操作和算法相关头文件，并使用标准命名空间。
• 定义常量(N)表示节点最大数量，(M)表示边的最大数量，(INF)表示无穷大。
• 定义变量(n)表示工作和人的数量，(S)、(T)表示超级源点和超级汇点。
• 定义数组(h[N])为邻接表头数组，(e[M])存储边的终点，(f[M])存储边的容量，(w[M])存储边的费用，(ne[M])存储同一起点下一条边的编号，(idx)用于记录边的编号。
• 定义数组(q[N])为spfa算法的队列，(d[N])记录从源点到各点的距离，(pre[N])记录前驱边，(incf[N])记录从源点到各点的最小剩余容量。
• 定义布尔数组(st[N])用于标记节点是否在队列中。

（二）添加边函数add

void add(int a, int b, int c, int d)
{
    e[idx] = b, f[idx] = c, w[idx] = d, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
    e[idx] = a, f[idx] = 0, w[idx] = -d, ne[idx] = h[b], h[b] = idx ++ ;
}

该函数用于添加边及其反向边，设置正向边和反向边的相关参数。

（三）spfa函数

bool spfa()
{
    int hh = 0, tt = 1;
    memset(d, 0x3f, sizeof d);
    memset(incf, 0, sizeof incf);
    q[0] = S, d[S] = 0, incf[S] = INF;
    while (hh != tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];
        if (hh == N) hh = 0;
        st[t] = false;
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            int ver = e[i];
            if (f[i] && d[ver] > d[t] + w[i])
            {
                d[ver] = d[t] + w[i];
                pre[ver] = i;
                incf[ver] = min(f[i], incf[t]);
                if (!st[ver])
                {
                    q[tt ++ ] = ver;
                    if (tt == N) tt = 0;
                    st[ver] = true;
                }
            }
        }
    }
    return incf[T] > 0;
}

• 初始化队列头指针(hh = 0)，尾指针(tt = 1)，距离数组d为无穷大，最小剩余容量数组incf为(0)。将源点加入队列并设置初始值。
• 当队列不为空时，取出队头节点(t)，标记该节点不在队列中。遍历节点(t)的邻接边，更新邻接点信息，若邻接点不在队列中则加入队列。
• 根据汇点的最小剩余容量判断是否找到增广路径。

（四）EK函数

int EK()
{
    int cost = 0;
    while (spfa())
    {
        int t = incf[T];
        cost += t * d[T];
        for (int i = T; i != S; i = e[pre[i] ^ 1])
        {
            f[pre[i]] -= t;
            f[pre[i] ^ 1] += t;
        }
    }
    return cost;
}

• 初始化总费用cost为(0)。
• 当存在增广路径时，获取汇点的最小剩余容量(t)，更新总费用并沿着增广路径更新边的容量。
• 当不存在增广路径时，返回总费用。

（五）main函数

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    S = 0, T = n * 2 + 1;
    memset(h, -1, sizeof h);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        add(S, i, 1, 0);
        add(n + i, T, 1, 0);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
        {
            int c;
            scanf("%d", &c);
            add(i, n + j, 1, c);
        }

    printf("%d\n", EK());

    for (int i = 0; i < idx; i += 2)
    {
        f[i] += f[i ^ 1], f[i ^ 1] = 0;
        w[i] = -w[i], w[i ^ 1] = -w[i ^ 1];
    }
    printf("%d\n", -EK());

    return 0;
}

• 读取工作和人的数量(n)，设置超级源点(S)和超级汇点(T)，初始化邻接表。
• 在源点与个人、工作与汇点之间连边。
• 读取每个人做每件工作的效益，并在人和工作之间连边。
• 调用EK函数输出最差分配方案下的最小总效益。
• 调整边的容量和费用后，再次调用EK函数并取相反数输出最优分配方案下的最大总效益。

四、时间复杂度和空间复杂度

（一）时间复杂度

• 建图阶段：读取输入并构建邻接表，时间复杂度为(O(n^2))。
• 费用流算法阶段：每次spfa寻找增广路径的时间复杂度在最坏情况下为(O(n^2))，而基于spfa的费用流算法最多执行(O(n))次增广（因为最多(n)个人和(n)件工作进行匹配）。所以总的时间复杂度为(O(n^3))。

（二）空间复杂度

主要空间消耗在存储图的邻接表以及辅助数组上。邻接表的空间复杂度为(O(n^2))，辅助数组（如队列、距离数组、前驱数组等）的空间复杂度为(O(n))。所以总的空间复杂度为(O(n^2))。