AcWing 2199. 骑士共存问题 题解

题目分析

本题在一个(n×n)的国际象棋棋盘上，棋盘上存在一些障碍方格，骑士（马）有特定的攻击范围。需要计算在棋盘上最多能放置多少个骑士，使得它们彼此互不攻击。

解题思路

本题可以转化为最大独立集问题，通过构建网络流图，利用最小割模型来求解。将棋盘上的方格看作节点，把所有节点分为两类（例如根据横纵坐标之和的奇偶性）。源点与其中一类节点相连，边权为(1)；另一类节点与汇点相连，边权为(1)。对于骑士能攻击到的方格对应的节点之间连边，边权设为无穷大。这样，用总的可放置方格数减去最小割的值，就可以得到最多能放置的互不攻击的骑士数量。

代码逐段分析

1. 头文件和全局变量定义

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 40010, M = 400010, INF = 1e8;

int n, m, S, T;
int h[N], e[M], f[M], ne[M], idx;
int q[N], d[N], cur[N];
bool g[210][210];

• 引入必要的头文件，用于输入输出、字符串操作和算法相关功能。
• 定义常量(N)（最大节点数）、(M)（最大边数）、(INF)（无穷大）。
• 变量(n)表示棋盘的大小（行数和列数），(m)表示障碍的数量，(S)为源点，(T)为汇点。
• (h)、(e)、(ne)、(idx)用于构建邻接表存储图的边，(f)数组记录边的容量。
• (q)、(d)、(cur)用于广度优先搜索（BFS）和增广路径查找。

• (g)数组用于标记棋盘上的方格是否为障碍，true表示是障碍。

• 获取节点编号函数

int get(int x, int y)
{
    return (x - 1) * n + y;
}

根据棋盘的坐标((x, y))计算对应的节点编号，方便在图中表示各个方格对应的节点。

1. 添加边函数

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, f[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
    e[idx] = a, f[idx] = 0, ne[idx] = h[b], h[b] = idx ++ ;
}

在图中添加一条从(a)到(b)容量为(c)的边，同时添加反向边（容量为(0)）用于网络流的反向增广。

1. BFS函数（构建层次图）

bool bfs()
{
    int hh = 0, tt = 0;
    memset(d, -1, sizeof d);
    q[0] = S, d[S] = 0, cur[S] = h[S];
    while (hh <= tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            int ver = e[i];
            if (d[ver] == -1 && f[i])
            {
                d[ver] = d[t] + 1;
                cur[ver] = h[ver];
                if (ver == T) return true;
                q[ ++ tt] = ver;
            }
        }
    }
    return false;
}

使用BFS构建层次图，标记每个节点的层次。若能到达汇点(T)，则返回(true)，表示存在从源点到汇点的路径；否则返回(false)。

1. 增广路径查找函数

int find(int u, int limit)
{
    if (u == T) return limit;
    int flow = 0;
    for (int i = cur[u]; ~i && flow < limit; i = ne[i])
    {
        cur[u] = i;
        int ver = e[i];
        if (d[ver] == d[u] + 1 && f[i])
        {
            int t = find(ver, min(f[i], limit - flow));
            if (!t) d[ver] = -1;
            f[i] -= t, f[i ^ 1] += t, flow += t;
        }
    }
    return flow;
}

在层次图中从节点(u)开始，沿着层次递增的路径寻找增广路径。若到达汇点(T)，则返回当前的流量限制(limit)。在遍历边的过程中，若满足层次关系且边有剩余容量，则递归地在子节点中寻找增广路径，并更新边的容量。若某条路径无法继续增广，则将该节点的层次标记为(-1)。

1. Dinic算法函数

int dinic()
{
    int r = 0, flow;
    while (bfs()) while (flow = find(S, INF)) r += flow;
    return r;
}

不断调用BFS和find函数，计算最大流（等价于最小割）并返回。

1. 主函数

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    S = 0, T = n * n + 1;
    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m -- )
    {
        int x, y;
        scanf("%d%d", &x, &y);
        g[x][y] = true;
    }

• 读取棋盘大小(n)和障碍数量(m)，设置源点(S = 0)和汇点(T = n * n + 1)，初始化邻接表。
• 遍历每个障碍，读取其坐标((x, y))，将(g[x][y])标记为true。

    int dx[] = {-2, -1, 1, 2, 2, 1, -1, -2};
    int dy[] = {1, 2, 2, 1, -1, -2, -2, -1};

定义(dx)和(dy)数组，用于表示骑士在棋盘上可攻击方向的偏移量。

    int tot = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
        {
            if (g[i][j]) continue;
            if (i + j & 1)
            {
                add(S, get(i, j), 1);
                for (int k = 0; k < 8; k ++ )
                {
                    int x = i + dx[k], y = j + dy[k];
                    if (x >= 1 && x <= n && y >= 1 && y <= n && !g[x][y])
                        add(get(i, j), get(x, y), INF);
                }
            }
            else add(get(i, j), T, 1);
            tot ++ ;
        }

• 初始化可放置方格的总数(tot = 0)。
• 遍历棋盘上的每个方格：
  • 如果该方格是障碍，则跳过。
  • 如果坐标((i, j))之和为奇数，从源点(S)向该方格对应的节点连边，边权为(1)，同时从该节点向骑士能攻击到的非障碍方格对应的节点连边，边权设为无穷大(INF)。
  • 如果坐标((i, j))之和为偶数，将该方格对应的节点与汇点(T)相连，边权为(1)。
  • 每次循环将(tot)加(1)，统计可放置方格的总数。

    printf("%d\n", tot - dinic());
    return 0;
}

调用(dinic)函数计算最小割，用可放置方格的总数(tot)减去最小割的值，得到最多能放置的互不攻击的骑士数量并输出。

时间复杂度分析

• 构建网络流图的时间复杂度为(O(n^2))，因为需要遍历棋盘上的每个方格来添加边。
• (dinic)算法的时间复杂度为(O(n^4))，这里(n)是棋盘的边长（节点数的量级为(n^2)）。
• 总的时间复杂度为(O(n^4))。

空间复杂度分析

• 图的存储使用邻接表，边数最多为(O(n^2))，所以存储图的空间复杂度为(O(n^2))。
• 其他辅助数组如(q)、(d)、(cur)、(g)等，大小与棋盘大小有关，为(O(n^2))。
• 总的空间复杂度为(O(n^2))。