AcWing 381. 有线电视网络 题解

题目分析

本题给定一张无向图，要求找出最少去掉多少个点可以使图不连通。如果无论去掉多少个点图都保持连通，则返回图的节点总数(n)。

解题思路

本题可通过网络流算法来求解。将每个点拆分成两个点，一个入点和一个出点，入点和出点之间连一条容量为(1)的边，代表该点是否被去掉（容量为(1)意味着最多只能通过(1)的流量，即最多去掉(1)次）。对于原图中的边，在对应的入点和出点之间连容量为无穷大的边。然后枚举源点和汇点，通过求最小割来确定最少去掉多少个点能使图不连通。

代码逐段分析

1. 头文件和全局变量定义

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 110, M = 5210, INF = 1e8;

int n, m, S, T;
int h[N], e[M], f[M], ne[M], idx;
int q[N], d[N], cur[N];

• 引入必要的头文件，用于输入输出、字符串操作和算法相关功能。
• 定义常量(N)（最大节点数）、(M)（最大边数）、(INF)（无穷大）。
• 变量(n)表示图的节点数，(m)表示边数，(S)为源点，(T)为汇点。
• (h)、(e)、(ne)、(idx)用于构建邻接表存储图的边，(f)数组记录边的容量。

• (q)、(d)、(cur)用于广度优先搜索（BFS）和增广路径查找。

• 添加边函数

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, f[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
    e[idx] = a, f[idx] = 0, ne[idx] = h[b], h[b] = idx ++ ;
}

在图中添加一条从(a)到(b)容量为(c)的边，同时添加反向边（容量为(0)）用于网络流的反向增广。

1. BFS函数（构建层次图）

bool bfs()
{
    int hh = 0, tt = 0;
    memset(d, -1, sizeof d);
    q[0] = S, d[S] = 0, cur[S] = h[S];
    while (hh <= tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            int ver = e[i];
            if (d[ver] == -1 && f[i])
            {
                d[ver] = d[t] + 1;
                cur[ver] = h[ver];
                if (ver == T) return true;
                q[ ++ tt] = ver;
            }
        }
    }
    return false;
}

使用BFS构建层次图，标记每个节点的层次。若能到达汇点(T)，则返回(true)，表示存在从源点到汇点的路径；否则返回(false)。

1. 增广路径查找函数

int find(int u, int limit)
{
    if (u == T) return limit;
    int flow = 0;
    for (int i = cur[u]; ~i && flow < limit; i = ne[i])
    {
        cur[u] = i;
        int ver = e[i];
        if (d[ver] == d[u] + 1 && f[i])
        {
            int t = find(ver, min(f[i], limit - flow));
            if (!t) d[ver] = -1;
            f[i] -= t, f[i ^ 1] += t, flow += t;
        }
    }
    return flow;
}

在层次图中从节点(u)开始，沿着层次递增的路径寻找增广路径。若到达汇点(T)，则返回当前的流量限制(limit)。在遍历边的过程中，若满足层次关系且边有剩余容量，则递归地在子节点中寻找增广路径，并更新边的容量。若某条路径无法继续增广，则将该节点的层次标记为(-1)。

1. Dinic算法函数

int dinic()
{
    int r = 0, flow;
    while (bfs()) while (flow = find(S, INF)) r += flow;
    return r;
}

不断调用BFS和find函数，计算最大流（等价于最小割）并返回。

1. 主函数

int main()
{
    while (cin >> n >> m)
    {
        memset(h, -1, sizeof h);
        idx = 0;
        for (int i = 0; i < n; i ++ ) add(i, n + i, 1);

• 进入循环，持续读取节点数(n)和边数(m)，直到输入结束。
• 初始化邻接表，将(h)数组所有元素设为(-1)，(idx)设为(0)。
• 遍历每个节点(i)，将节点(i)的入点（编号为(i)）和出点（编号为(n + i)）相连，边容量设为(1)。

        while (m -- )
        {
            int a, b;
            scanf(" (%d,%d)", &a, &b);
            add(n + a, b, INF);
            add(n + b, a, INF);
        }

遍历每条边，读取边的两个端点(a)和(b)。在对应的入点和出点之间连边，即从(n + a)到(b)、从(n + b)到(a)连边，边容量设为无穷大(INF)。

        int res = n;
        for (int i = 0; i < n; i ++ )
            for (int j = 0; j < i; j ++ )
            {
                S = n + i, T = j;
                for (int k = 0; k < idx; k += 2)
                {
                    f[k] += f[k ^ 1];
                    f[k ^ 1] = 0;
                }
                res = min(res, dinic());
            }

• 初始化结果变量(res)为(n)。
• 枚举所有可能的源点(S)（节点(i)的出点(n + i)）和汇点(T)（节点(j)，且(j < i)）。
• 在每次枚举前，将所有边的容量更新（把反向边的容量加到正向边上，然后将反向边容量设为(0)）。
• 调用(dinic)函数计算最小割，并更新(res)为当前最小割和(res)中的较小值。

        printf("%d\n", res);
    }

    return 0;
}

输出最终结果(res)，即最少去掉的节点数，若无论如何都无法使图不连通，则(res)为(n)。

时间复杂度分析

• 构建网络流图的时间复杂度为(O(n + m))，因为需要处理每个节点和每条边。
• 枚举源点和汇点的时间复杂度为(O(n^2))，每次枚举调用(dinic)算法，(dinic)算法的时间复杂度为(O(n^2m))（这里(n)是节点数，(m)是边数）。
• 总的时间复杂度为(O(n^4m))。

空间复杂度分析

• 图的存储使用邻接表，边数最多为(O(m))，所以存储图的空间复杂度为(O(m))。
• 其他辅助数组如(q)、(d)、(cur)等，大小与节点数有关，为(O(n))。
• 总的空间复杂度为(O(n + m))。