AcWing 2176. 太空飞行计划问题 题解

题目分析

本题中(W)教授要为国家航天中心计划太空飞行，存在一个实验集合和仪器集合。每个实验有对应的收益，进行实验需要用到部分仪器，每个仪器有配置费用。目标是找出能使太空飞行净收益（实验收益总和 - 仪器配置费用总和）最大的实验和仪器配置方案。

解题思路

将此问题转化为最大权闭合图问题，利用网络流算法求解。构建一个网络流图，设立源点和汇点。源点与每个实验节点相连，边权为该实验的收益；每个仪器节点与汇点相连，边权为该仪器的配置费用；如果某个实验需要某仪器，则从该实验节点向对应的仪器节点连边，边权设为无穷大。这样，通过求最小割（最大流），用总收益减去最小割的值，就能得到最大净收益，同时可以通过深度优先搜索确定具体的实验和仪器选择方案。

代码逐段分析

1. 头文件和全局变量定义

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <sstream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 110, M = 5210, INF = 1e8;

int m, n, S, T;
int h[N], e[M], f[M], ne[M], idx;
int q[N], d[N], cur[N];
bool st[N];

• 引入必要的头文件，iostream用于输入输出，cstring用于字符串操作，sstream用于字符串流处理，algorithm用于算法相关功能。
• 定义常量(N)（最大节点数）、(M)（最大边数）、(INF)（无穷大）。
• 变量(m)表示实验数量，(n)表示仪器数量，(S)为源点，(T)为汇点。
• (h)、(e)、(ne)、(idx)用于构建邻接表存储图的边，(f)数组记录边的容量。
• (q)、(d)、(cur)用于广度优先搜索（BFS）和增广路径查找。

• (st)数组用于标记节点是否被访问过。

• 添加边函数

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, f[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
    e[idx] = a, f[idx] = 0, ne[idx] = h[b], h[b] = idx ++ ;
}

在图中添加一条从(a)到(b)容量为(c)的边，同时添加反向边（容量为(0)）用于网络流的反向增广。

1. BFS函数（构建层次图）

bool bfs()
{
    int hh = 0, tt = 0;
    memset(d, -1, sizeof d);
    q[0] = S, d[S] = 0, cur[S] = h[S];
    while (hh <= tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            int ver = e[i];
            if (d[ver] == -1 && f[i])
            {
                d[ver] = d[t] + 1;
                cur[ver] = h[ver];
                if (ver == T) return true;
                q[ ++ tt] = ver;
            }
        }
    }
    return false;
}

使用BFS构建层次图，标记每个节点的层次。若能到达汇点(T)，则返回(true)，表示存在从源点到汇点的路径；否则返回(false)。

1. 增广路径查找函数

int find(int u, int limit)
{
    if (u == T) return limit;
    int flow = 0;
    for (int i = cur[u]; ~i && flow < limit; i = ne[i])
    {
        cur[u] = i;
        int ver = e[i];
        if (d[ver] == d[u] + 1 && f[i])
        {
            int t = find(ver, min(f[i], limit - flow));
            if (!t) d[ver] = -1;
            f[i] -= t, f[i ^ 1] += t, flow += t;
        }
    }
    return flow;
}

在层次图中从节点(u)开始，沿着层次递增的路径寻找增广路径。若到达汇点(T)，则返回当前的流量限制(limit)。在遍历边的过程中，若满足层次关系且边有剩余容量，则递归地在子节点中寻找增广路径，并更新边的容量。若某条路径无法继续增广，则将该节点的层次标记为(-1)。

1. Dinic算法函数

int dinic()
{
    int r = 0, flow;
    while (bfs()) while (flow = find(S, INF)) r += flow;
    return r;
}

不断调用BFS和find函数，计算最大流（等价于最小割）并返回。

1. DFS函数

void dfs(int u)
{
    st[u] = true;
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
        if (!st[e[i]] && f[i])
            dfs(e[i]);
}

深度优先搜索函数，从源点(S)开始，标记访问过的节点。遍历当前节点的所有邻边，对未访问且边容量大于(0)的节点继续进行DFS。

1. 主函数

int main()
{
    scanf("%d%d", &m, &n);
    S = 0, T = m + n + 1;
    memset(h, -1, sizeof h);
    getchar();  // 过滤掉第一行最后的回车

• 读取实验数量(m)和仪器数量(n)，设置源点(S = 0)和汇点(T = m + n + 1)，初始化邻接表。
• 使用getchar()过滤掉输入第一行最后的回车符。

    int tot = 0;
    for (int i = 1; i <= m; i ++ )
    {
        int w, id;
        string line;
        getline(cin, line);
        stringstream ssin(line);
        ssin >> w;
        add(S, i, w);
        while (ssin >> id) add(i, m + id, INF);
        tot += w;
    }

• 初始化总收益(tot = 0)。
• 遍历每个实验：
  • 使用getline(cin, line)读取一行实验数据，通过stringstream将其按空格分割。
  • 读取实验收益(w)，从源点(S)向该实验节点连边，边权为(w)。
  • 继续读取该实验需要的仪器编号(id)，从该实验节点向对应的仪器节点（编号为(m + id)）连边，边权设为无穷大(INF)。
  • 将该实验的收益累加到(tot)中。

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        int p;
        cin >> p;
        add(m + i, T, p);
    }

遍历每个仪器，读取其配置费用(p)，从该仪器节点（编号为(m + i)）向汇点(T)连边，边权为(p)。

    int res = dinic();
    dfs(S);

调用dinic函数计算最小割（即需要舍去的收益和费用之和），然后从源点(S)开始进行DFS。

    for (int i = 1; i <= m; i ++ )
        if (st[i]) printf("%d ", i);
    puts("");
    for (int i = m + 1; i <= m + n; i ++ )
        if (st[i]) printf("%d ", i - m);
    puts("");
    printf("%d\n", tot - res);
    return 0;
}

• 输出被选中的实验编号（被源点DFS到的实验节点）。
• 输出被选中的仪器编号（被源点DFS到的仪器节点编号减去(m)）。
• 输出最大净收益，即总收益(tot)减去最小割的值(res)。

时间复杂度分析

• 构建网络流图的时间复杂度为(O(mn))，因为需要处理每个实验和仪器之间的关系。
• (dinic)算法的时间复杂度为(O(n^2m))，这里(n)和(m)分别是仪器数和实验数。
• 深度优先搜索的时间复杂度为(O(n + m))。
• 总的时间复杂度为(O(n^2m))。

空间复杂度分析

• 图的存储使用邻接表，边数最多为(O(mn))，所以存储图的空间复杂度为(O(mn))。
• 其他辅助数组如(q)、(d)、(cur)、(st)等，大小与节点数有关，节点数为(O(m + n))，所以这些辅助数组的空间复杂度为(O(m + n))。
• 总的空间复杂度为(O(mn))。