AcWing 2325. 有向图破坏

历史记录

清除记录

猜你想搜

AcWing热点
App
登录/注册

AcWing 2325. 有向图破坏原题链接困难

作者：

Equation_6 , 2025-03-24 17:53:00 ·山西 , 所有人可见 , 阅读 3

AcWing 2325. 有向图破坏题解

题目分析

本题中爱丽丝绘制了一个有向图，鲍勃需要通过移除图中的边来毁掉这个图。每一步操作，鲍勃可以选择一个点，移除该点的所有入边或者所有出边，不同操作有不同的花费。要求计算鲍勃移除所有边的最少花费，并输出相关操作信息。

解题思路

本题可以转化为最小割问题，利用网络流算法求解。通过构建一个网络流图，将源点与表示点的入边操作的节点相连，边权为移除入边的花费；将表示点的出边操作的节点与汇点相连，边权为移除出边的花费；对于图中的有向边，在对应的节点之间连边，边权设为无穷大。这样，最小割的值就是移除所有边的最少花费，再通过深度优先搜索确定具体的操作点。

代码逐段分析

头文件和全局变量定义

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 210, M = 5200 * 2 + 10, INF = 1e8;

int n, m, S, T;
int h[N], e[M], f[M], ne[M], idx;
int q[N], d[N], cur[N];
bool st[N];

引入必要的头文件，用于输入输出、字符串操作和算法相关功能。
定义常量(N)（最大节点数）、(M)（最大边数）、(INF)（无穷大）。
变量(n)表示图的节点数，(m)表示边数，(S)为源点，(T)为汇点。
(h)、(e)、(ne)、(idx)用于构建邻接表存储图的边，(f)数组记录边的容量。
(q)、(d)、(cur)用于广度优先搜索（BFS）和增广路径查找。
(st)数组用于标记节点是否被访问过。
添加边函数

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, f[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
    e[idx] = a, f[idx] = 0, ne[idx] = h[b], h[b] = idx ++ ;
}

在图中添加一条从(a)到(b)容量为(c)的边，同时添加反向边（容量为(0)）用于网络流的反向增广。

BFS函数（构建层次图）

bool bfs()
{
    int hh = 0, tt = 0;
    memset(d, -1, sizeof d);
    q[0] = S, d[S] = 0, cur[S] = h[S];
    while (hh <= tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            int ver = e[i];
            if (d[ver] == -1 && f[i])
            {
                d[ver] = d[t] + 1;
                cur[ver] = h[ver];
                if (ver == T) return true;
                q[ ++ tt] = ver;
            }
        }
    }
    return false;
}

使用BFS构建层次图，标记每个节点的层次。若能到达汇点(T)，则返回(true)，表示存在从源点到汇点的路径；否则返回(false)。

增广路径查找函数

int find(int u, int limit)
{
    if (u == T) return limit;
    int flow = 0;
    for (int i = cur[u]; ~i && flow < limit; i = ne[i])
    {
        cur[u] = i;
        int ver = e[i];
        if (d[ver] == d[u] + 1 && f[i])
        {
            int t = find(ver, min(f[i], limit - flow));
            if (!t) d[ver] = -1;
            f[i] -= t, f[i ^ 1] += t, flow += t;
        }
    }
    return flow;
}

在层次图中从节点(u)开始，沿着层次递增的路径寻找增广路径。若到达汇点(T)，则返回当前的流量限制(limit)。在遍历边的过程中，若满足层次关系且边有剩余容量，则递归地在子节点中寻找增广路径，并更新边的容量。若某条路径无法继续增广，则将该节点的层次标记为(-1)。

Dinic算法函数

int dinic()
{
    int r = 0, flow;
    while (bfs()) while (flow = find(S, INF)) r += flow;
    return r;
}

不断调用BFS和find函数，计算最大流（等价于最小割）并返回。

DFS函数

void dfs(int u)
{
    st[u] = true;
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
        if (f[i] && !st[e[i]])
            dfs(e[i]);
}

深度优先搜索函数，从源点(S)开始，标记访问过的节点。遍历当前节点的所有邻边，对未访问且边容量大于(0)的节点继续进行DFS。

主函数

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    S = 0, T = n * 2 + 1;
    memset(h, -1, sizeof h);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        int w;
        scanf("%d",  &w);
        add(S, i, w);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        int w;
        scanf("%d", &w);
        add(n + i, T, w);
    }

读取图的节点数(n)和边数(m)，设置源点(S = 0)和汇点(T = n * 2 + 1)，初始化邻接表。
读取每个点移除入边的花费(w)，从源点(S)向表示该点入边操作的节点连边，边权为(w)。
读取每个点移除出边的花费(w)，从表示该点出边操作的节点向汇点(T)连边，边权为(w)。

    while (m -- )
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(b, n + a, INF);
    }

读取图中的有向边，从边的终点(b)向表示起点(a)出边操作的节点连边，边权设为无穷大。

    printf("%d\n", dinic());
    dfs(S);

调用(dinic)函数计算最小割（即最少花费）并输出，然后从源点(S)开始进行DFS。

    int cnt = 0;
    for (int i = 0; i < idx; i += 2)
    {
        int a = e[i ^ 1], b = e[i];
        if (st[a] && !st[b]) cnt ++ ;
    }

统计被源点DFS到的节点与未被DFS到的节点之间的边的数量(cnt)，这些边对应着需要进行的操作。

    printf("%d\n", cnt);
    for (int i = 0; i < idx; i += 2)
    {
        int a = e[i ^ 1], b = e[i];
        if (st[a] && !st[b])
        {
            if (a == S) printf("%d +\n", b);
        }
    }
    for (int i = 0; i < idx; i += 2)
    {
        int a = e[i ^ 1], b = e[i];
        if (st[a] && !st[b])
        {
            if (b == T) printf("%d -\n", a - n);
        }
    }