题解：冗余路径问题

一、题目背景

有 (F) 个草场，奶牛们希望在任意两个草场之间至少有两条相互分离（路径无重合道路）的路径，现有 (R) 条连接不同草场的双向路。需要计算出最少新建道路的数量，以满足奶牛们的需求。

二、解题思路

本题可通过Tarjan算法找出图中的桥（割边），将图中的双连通分量缩点，然后根据缩点后图中度数为 (1) 的节点数量来计算最少新建道路的数量。因为要使图中任意两点间至少有两条分离路径，最终图应是一个边双连通图，而对于一个由边双连通分量缩点后形成的树状图，添加边的数量可通过度数为 (1) 的节点（叶子节点）数量来确定。

具体步骤如下：
1. 定义图的存储结构，包括邻接表相关数组、时间戳数组 dfn[N]（记录节点首次访问的时间戳）、追溯数组 low[N]（记录节点或其子孙能追溯到的最早时间戳）、栈数组 stk[N] 及栈顶指针 top、节点所属双连通分量编号数组 id[N]、双连通分量数量 dcc_cnt、标记边是否为桥的数组 is_bridge[M]、每个双连通分量的度数数组 d[N]。
2. 编写添加边的函数 add，用于构建邻接表。
3. 实现Tarjan算法函数 tarjan，用于找出图中的桥和双连通分量：
- 更新当前节点的 dfn 和 low 值，并将节点入栈。
- 遍历当前节点的邻接边，对于未访问的节点，递归调用 tarjan 并更新 low 值，若发现桥则标记；对于已访问且不是反向边的节点，更新 low 值。
- 若当前节点的 dfn 和 low 值相等，说明找到了一个双连通分量，将栈中节点弹出并记录所属双连通分量编号。
4. 在 main 函数中：
- 读取草场数量 n 和道路数量 m，初始化邻接表。
- 读取每条道路，构建图的邻接表。
- 从节点 1 开始调用Tarjan算法，找出所有桥和双连通分量。
- 遍历所有边，统计每个双连通分量的度数（与该双连通分量相连的桥的数量）。
- 统计度数为 (1) 的双连通分量的数量 cnt。
- 输出最少新建道路的数量，计算公式为 (cnt + 1) / 2。

三、代码逐段分析

（一）头文件和全局变量

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 5010, M = 20010;

int n, m;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int dfn[N], low[N], timestamp;
int stk[N], top;
int id[N], dcc_cnt;
bool is_bridge[M];
int d[N];

1. 头文件：
   • #include <cstring>：用于字符串操作和内存初始化函数，如 memset。
   • #include <iostream>：提供C++风格的输入输出流，如 cin 和 cout。
   • #include <algorithm>：包含一些常用的算法函数。
   • using namespace std;：使用标准命名空间，以便直接使用标准库中的函数和类型。
2. 常量定义：
   • const int N = 5010, M = 20010;：定义节点的最大数量（草场数量）和边的最大数量。
3. 变量定义：
   • int n, m;：分别表示草场的数量和道路的数量。
   • int h[N], e[M], ne[M], idx;：邻接表相关数组，h[N] 存储每个节点的头指针，e[M] 存储边的终点，ne[M] 存储下一条边的指针，idx 用于边的编号。
   • int dfn[N], low[N], timestamp;：dfn[N] 记录节点首次访问的时间戳，low[N] 记录节点或其子孙能追溯到的最早时间戳，timestamp 是时间戳计数器。
   • int stk[N], top;：stk[N] 是栈数组，top 是栈顶指针。
   • int id[N], dcc_cnt;：id[N] 记录节点所属双连通分量编号，dcc_cnt 是双连通分量数量。
   • bool is_bridge[M];：标记每条边是否为桥。
   • int d[N];：记录每个双连通分量的度数（与该双连通分量相连的桥的数量）。

（二）添加边函数

void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

该函数用于向邻接表中添加一条边，参数 a 为起点，b 为终点。通过更新邻接表数组，将边的信息存储起来。

（三）Tarjan算法函数

void tarjan(int u, int from)
{
    dfn[u] = low[u] = ++ timestamp;
    stk[ ++ top] = u;

    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (!dfn[j])
        {
            tarjan(j, i);
            low[u] = min(low[u], low[j]);
            if (dfn[u] < low[j])
                is_bridge[i] = is_bridge[i ^ 1] = true;
        }
        else if (i != (from ^ 1))
            low[u] = min(low[u], dfn[j]);
    }

    if (dfn[u] == low[u])
    {
        ++ dcc_cnt;
        int y;
        do {
            y = stk[top -- ];
            id[y] = dcc_cnt;
        } while (y != u);
    }
}

1. 初始化当前节点的 dfn 和 low 值为当前时间戳，将节点入栈。
2. 遍历当前节点的邻接边：
   • 若邻接节点未访问，递归调用 tarjan 函数，并更新当前节点的 low 值，若 dfn[u] < low[j]，说明边 i 是桥，标记 i 及其反向边 i ^ 1 为桥。
   • 若邻接节点已访问且不是反向边（i != (from ^ 1)），更新当前节点的 low 值为当前 low 值和邻接节点 dfn 值的较小值。
3. 若当前节点的 dfn 和 low 值相等，说明找到了一个双连通分量：
   • 双连通分量数量加 (1)。
   • 从栈中弹出节点，记录所属双连通分量编号。

（四）main 函数

int main()
{
    cin >> n >> m;
    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m -- )
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(a, b), add(b, a);
    }

    tarjan(1, -1);

    for (int i = 0; i < idx; i ++ )
        if (is_bridge[i])
            d[id[e[i]]] ++ ;

    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= dcc_cnt; i ++ )
        if (d[i] == 1)
            cnt ++ ;

    printf("%d\n", (cnt + 1) / 2);

    return 0;
}

1. 读取草场数量 n 和道路数量 m，初始化邻接表。
2. 读取每条道路，构建图的邻接表。
3. 从节点 1 开始调用Tarjan算法，找出所有桥和双连通分量。
4. 遍历所有边，若边是桥，则对应双连通分量的度数加 (1)。
5. 统计度数为 (1) 的双连通分量的数量 cnt。
6. 输出最少新建道路的数量，计算公式为 (cnt + 1) / 2。
7. 程序结束。

四、时间复杂度和空间复杂度分析

（一）时间复杂度

1. 建图：读取 (m) 条道路构建邻接表，时间复杂度为 (O(m))。
2. Tarjan算法：每个节点最多被访问一次，每条边最多被遍历一次，时间复杂度为 (O(n + m))。
3. 统计度数和结果：遍历 (m) 条边统计桥对应的双连通分量度数，时间复杂度为 (O(m))；遍历 (dcc_cnt) 个双连通分量统计度数为 (1) 的数量，时间复杂度为 (O(dcc_cnt))，(dcc_cnt\leq n)。
   总体时间复杂度为 (O(n + m))。

（二）空间复杂度

1. 邻接表：存储边的信息，空间复杂度为 (O(m))。
2. 其他数组：时间戳数组 dfn[N]、追溯数组 low[N]、栈数组 stk[N]、节点所属双连通分量编号数组 id[N]、双连通分量数量 dcc_cnt、标记边是否为桥的数组 is_bridge[M]、每个双连通分量的度数数组 d[N]，空间复杂度均为 (O(n + m))（is_bridge[M] 为 (O(m))，其他与节点相关的数组为 (O(n))）。
   总体空间复杂度为 (O(n + m))。

希望这份题解能帮助你理解这道题的解题思路和代码实现。如果有任何疑问，欢迎随时提问。