题解：虫洞问题

一、题目背景

农夫约翰的每个农场包含 (N) 片田地、(M) 条双向路径以及 (W) 个单向虫洞，虫洞可以让人回到过去某个时刻。约翰希望从某片田地出发，经过一些路径和虫洞，能在出发时刻之前回到出发地，需要判断是否能实现。

二、解题思路

本题可将农场的田地看作图的节点，路径和虫洞看作边，通过判断图中是否存在负权回路来解决。由于负权回路意味着可以不断绕圈使总时间减少，从而有可能回到出发时刻之前，所以使用SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）算法判断负权回路。

具体步骤如下：
1. 定义图的存储结构，包括邻接表相关数组、距离数组、队列数组、记录每个节点入队次数的数组以及节点是否在队列中的标记数组。
2. 编写添加边的函数，用于构建邻接表。
3. 实现SPFA算法，通过不断更新节点距离，判断是否存在某个节点入队次数达到节点总数（即存在负权回路）。
4. 在 main 函数中，读取农场数量 (T)，对于每个农场：
- 读取田地数量 (n)、路径数量 (m1) 和虫洞数量 (m2)。
- 初始化邻接表，读取路径信息并添加双向边，读取虫洞信息并添加单向负权边。
- 调用SPFA算法判断是否存在负权回路，根据结果输出 YES 或 NO。

三、代码逐段分析

（一）头文件和全局变量

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 510, M = 5210;

int n, m1, m2;
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
int dist[N];
int q[N], cnt[N];
bool st[N];

1. 头文件：
   • #include <cstdio>：用于标准输入输出函数，如 scanf 和 printf。
   • #include <cstring>：用于字符串操作和内存初始化函数，如 memset。
   • #include <iostream>：提供C++风格的输入输出流，如 cin 和 cout。
   • #include <algorithm>：包含一些常用的算法函数。
   • using namespace std;：使用标准命名空间，以便直接使用标准库中的函数和类型。
2. 常量定义：
   • const int N = 510, M = 5210;：定义田地数量的最大值和边数量的最大值。
3. 变量定义：
   • int n, m1, m2;：分别表示田地数量、路径数量和虫洞数量。
   • int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;：邻接表相关数组，h[N] 存储每个节点的头指针，e[M] 存储边的终点，w[M] 存储边权，ne[M] 存储下一条边的指针，idx 用于边的编号。
   • int dist[N];：记录从源点到每个节点的距离。
   • int q[N], cnt[N];：q[N] 是队列数组，用于SPFA算法；cnt[N] 记录每个节点入队的次数。
   • bool st[N];：标记每个节点是否在队列中。

（二）添加边函数

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

该函数用于向邻接表中添加一条边，参数 a 为起点，b 为终点，c 为边权。通过更新邻接表数组，将边的信息存储起来。

（三）SPFA算法函数

bool spfa()
{
    memset(dist, 0, sizeof dist);
    memset(cnt, 0, sizeof cnt);
    memset(st, 0, sizeof st);

    int hh = 0, tt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        q[tt ++ ] = i;
        st[i] = true;
    }

    while (hh != tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];
        if (hh == N) hh = 0;
        st[t] = false;

        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[t] + w[i])
            {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                cnt[j] = cnt[t] + 1;
                if (cnt[j] >= n) return true;
                if (!st[j])
                {
                    q[tt ++ ] = j;
                    if (tt == N) tt = 0;
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }

    return false;
}

1. 初始化：
   • memset(dist, 0, sizeof dist);：将距离数组初始化为0。
   • memset(cnt, 0, sizeof cnt);：将每个节点的入队次数初始化为0。
   • memset(st, 0, sizeof st);：将节点在队列中的标记初始化为 false。
2. 入队操作：
   • 将所有节点入队，标记为在队列中。
3. 队列处理：
   • 当队列不为空时，取出队头节点 t，标记为不在队列中。
   • 遍历节点 t 的所有邻接边，如果通过节点 t 到邻接节点 j 的距离更短，则更新距离 dist[j]，入队次数 cnt[j] 加1。
   • 如果某个节点的入队次数 cnt[j] 达到节点总数 n，说明存在负权回路，返回 true。
   • 如果邻接节点 j 不在队列中，则将其入队并标记为在队列中。
4. 返回结果：
   • 遍历完所有边后，若没有发现负权回路，返回 false。

（四）main 函数

int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T -- )
    {
        scanf("%d%d%d", &n, &m1, &m2);
        memset(h, -1, sizeof h);
        idx = 0;
        for (int i = 0; i < m1; i ++ )
        {
            int a, b, c;
            scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
            add(a, b, c), add(b, a, c);
        }
        for (int i = 0; i < m2; i ++ )
        {
            int a, b, c;
            scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
            add(a, b, -c);
        }

        if (spfa()) puts("YES");
        else puts("NO");
    }

    return 0;
}

1. 读取农场数量：
   • scanf("%d", &T);：读取农场的数量 T。
2. 处理每个农场：
   • 对于每个农场，读取田地数量 n、路径数量 m1 和虫洞数量 m2。
   • 初始化邻接表，将头指针数组 h 初始化为 -1，边编号 idx 初始化为0。
   • 读取路径信息，添加双向边。
   • 读取虫洞信息，添加单向负权边。
3. 判断并输出结果：
   • 调用SPFA算法判断是否存在负权回路。
   • 如果存在负权回路，输出 YES；否则，输出 NO。
4. 结束程序：
   • return 0;：程序正常结束。

四、时间复杂度和空间复杂度分析

（一）时间复杂度

1. 输入和建图：读取每个农场的信息并构建邻接表，时间复杂度为 (O(m1 + m2))，其中 (m1) 是路径数量，(m2) 是虫洞数量。
2. SPFA算法：在最坏情况下，每个节点都可能入队 (n) 次，每次入队处理其邻接边，时间复杂度为 (O(nm))，这里 (m = m1 + m2)。但在实际情况中，SPFA算法通常比这个复杂度要快。
   总体时间复杂度为 (O(T(nm + m1 + m2)))，其中 (T) 是农场的数量。

（二）空间复杂度

1. 邻接表：存储边的信息，空间复杂度为 (O(m))，其中 (m = m1 + m2)。
2. 其他数组：距离数组 dist[N]、队列数组 q[N]、入队次数数组 cnt[N] 和标记数组 st[N]，空间复杂度均为 (O(n))。
   总体空间复杂度为 (O(n + m))。

希望这份题解能帮助你理解这道题的解题思路和代码实现。如果有任何疑问，欢迎随时提问。