题解：关于带权树中边权组合计算问题

一、题目背景

给定一个由 (n) 个节点组成的树（通过 (n - 1) 条边连接），每条边都有一个权值。需要计算所有可能的边权组合的某种结果（具体为将每条边加入最小生成树时，根据该边连接的两个连通分量的节点数量计算出的结果之和）。

二、解题思路

本题主要利用并查集和贪心算法的思想来解决。核心思路是将树的边按照权值从小到大排序，依次处理每条边，利用并查集维护节点的连通性以及每个连通分量的节点数量。在处理每条边时，根据该边连接的两个连通分量的节点数量计算出相应的结果，并累加到最终答案中。

具体步骤如下：
1. 定义结构体 Edge 来存储边的信息，包括边的两个端点 a、b 和边权 w，并重载 < 运算符以便对边按权值进行排序。
2. 定义数组 p[N] 用于并查集存储每个节点的父节点，数组 size[N] 用于记录每个连通分量的节点数量。
3. 读取测试用例的数量 T，对于每个测试用例：
- 读取节点数量 n 和 (n - 1) 条边的信息（两个端点和边权），将边的信息存储到 e 数组中。
- 对边按照边权从小到大进行排序。
- 初始化并查集，使每个节点的父节点为自身，每个连通分量的节点数量为 (1)。
- 遍历排序后的边数组，对于每条边：
- 查找边的两个端点所在连通分量的根节点 a 和 b。
- 如果两个端点不在同一个连通分量中：
- 计算该边加入后对结果的贡献，即 (size[a] * size[b] - 1) * (w + 1)，并累加到结果变量 res 中。
- 合并两个连通分量，更新较大连通分量的节点数量，并将较小连通分量的根节点指向较大连通分量的根节点。
- 输出最终结果 res。

三、代码逐段分析

（一）头文件和全局变量

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 6010;

int n;
struct Edge
{
    int a, b, w;
    bool operator< (const Edge &t) const
    {
        return w < t.w;
    }
}e[N];
int p[N], size[N];

1. 头文件：
   • #include <cstring>：用于字符串操作和内存初始化函数，如 memset。
   • #include <iostream>：提供 C++ 风格的输入输出流，如 cin 和 cout。
   • #include <algorithm>：包含一些常用的算法函数，如 sort 用于排序。
   • using namespace std;：使用标准命名空间，以便直接使用标准库中的函数和类型。
2. 常量定义：
   • const int N = 6010：定义节点数量以及边数组的最大长度。
3. 变量定义：
   • int n;：表示节点的数量。
   • struct Edge：定义结构体 Edge 用于存储边的信息，包括两个端点 a 和 b 以及边权 w，并重载 < 运算符，使得可以按照边权对边进行从小到大的排序。
   • e[N];：数组 e 用于存储所有边的信息。
   • int p[N], size[N];：p[N] 用于并查集存储每个节点的父节点；size[N] 用于记录每个连通分量的节点数量。

（二）find 函数

int find(int x)
{
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

该函数用于在并查集中查找节点 x 的根节点。如果 p[x] 不等于 x，说明 x 不是根节点，递归地查找其根节点，并进行路径压缩（将 p[x] 更新为根节点），最后返回根节点。

（三）main 函数

int main()
{
    int T;
    cin >> T;
    while (T -- )
    {
        cin >> n;
        for (int i = 0; i < n - 1; i ++ )
        {
            int a, b, w;
            cin >> a >> b >> w;
            e[i] = {a, b, w};
        }

        sort(e, e + n - 1);
        for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i, size[i] = 1;

        int res = 0;
        for (int i = 0; i < n - 1; i ++ )
        {
            int a = find(e[i].a), b = find(e[i].b), w = e[i].w;
            if (a != b)
            {
                res += (size[a] * size[b] - 1) * (w + 1);
                size[b] += size[a];
                p[a] = b;
            }
        }

        cout << res << endl;
    }

    return 0;
}

1. 输入测试用例数量并循环处理：
   • int T; cin >> T;：读取测试用例的数量 T。
   • while (T -- )：对于每个测试用例进行循环处理。
2. 读取树的边信息：
   • cin >> n;：读取节点数量 n。
   • 通过循环 for (int i = 0; i < n - 1; i ++ ) 读取 (n - 1) 条边的信息，包括两个端点 a、b 和边权 w，并将边的信息存储到 e 数组中（e[i] = {a, b, w};）。
3. 边排序和并查集初始化：
   • sort(e, e + n - 1);：对边按照边权从小到大进行排序。
   • 通过循环 for (int i = 1; i <= n; i ++ ) 初始化并查集，使每个节点的父节点为自身（p[i] = i），每个连通分量的节点数量为 (1)（size[i] = 1）。
4. 计算结果：
   • int res = 0;：初始化结果变量 res 为 (0)。
   • 通过循环 for (int i = 0; i < n - 1; i ++ ) 遍历排序后的边数组：
     • 调用 find 函数查找边的两个端点 e[i].a 和 e[i].b 所在连通分量的根节点 a 和 b。
     • 如果 a 和 b 不相等（即两个端点不在同一个连通分量中）：
       • 计算该边加入后对结果的贡献 (size[a] * size[b] - 1) * (w + 1)，并累加到 res 中。
       • 更新较大连通分量的节点数量（size[b] += size[a];），并将较小连通分量的根节点 a 指向较大连通分量的根节点 b（p[a] = b;）。
5. 输出结果并结束程序：
   • cout << res << endl;：输出最终结果。
   • return 0;：程序正常结束。

四、时间复杂度和空间复杂度分析

（一）时间复杂度

1. 输入边信息：读取 (n - 1) 条边的信息，时间复杂度为 (O(n))。
2. 边排序：对 (n - 1) 条边进行排序，时间复杂度为 (O((n - 1) \log (n - 1)))，近似为 (O(n \log n))。
3. 处理边并计算结果：遍历 (n - 1) 条边，每次处理边时调用 find 函数的时间复杂度为 (O(\alpha(n)))（(\alpha(n)) 是阿克曼函数的反函数，在实际应用中可近似看作常数），所以这部分时间复杂度为 (O(n \alpha(n)))，近似为 (O(n))。
4. 总体时间复杂度为 (O(n + n \log n + n) = O(n \log n))，主要由边排序的时间复杂度决定。

（二）空间复杂度

1. 存储边信息：边数组 e[N] 占用空间为 (O(n))。
2. 并查集相关数组：数组 p[N] 和 size[N] 占用空间均为 (O(n))。
3. 总体空间复杂度为 (O(n + n + n) = O(n))。

希望以上题解能帮助你理解这道题的代码逻辑和算法原理。如果还有疑问，请随时提问。