这是一道运用最小生成树（MST）算法（具体是Kruskal算法）来解决的问题，题目场景大概是在给定一些点的坐标情况下，要连接这些点形成一定数量的连通块，求满足条件的最大边长（即最小生成树中最大的边权重）。以下是详细的题解，包括对代码的逐段分析以及时间复杂度和空间复杂度分析：

题目分析

从代码的逻辑来看，题目应该是这样的：给定(n)个点的坐标，要将这些点连接起来，使得最终形成(k)个连通块。连接两个点的边的权重是这两个点之间的欧几里得距离。需要求出在满足形成(k)个连通块的情况下，连接点的边中最大的边长（即边的权重）是多少。

代码逐段分析

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>

#define x first
#define y second

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 510, M = N * N / 2;

int n, k, m;
struct Edge
{
    int a, b;
    double w;
    bool operator< (const Edge &t) const
    {
        return w < t.w;
    }
}e[M];
PII q[M];
int p[N];

• 引入必要的头文件：
  • cstring 用于字符串操作（这里未用到）。
  • iostream 用于输入输出操作。
  • algorithm 用于排序等算法操作。
  • cmath 用于数学运算，特别是计算平方根。
• 使用 #define 宏定义了 x 和 y 分别表示 pair 类型的第一个和第二个元素，方便后续使用。
• 定义了命名空间 std，使得可以直接使用标准库中的函数和类型。
• 定义了 PII 作为 pair<int, int> 的别名，用于表示点的坐标。
• 定义了常量 N 表示点的最大数量，M 表示边的最大数量（(N * N / 2) 是完全图的边数上限）。
• 声明了变量 n 表示点的数量，k 表示最终要形成的连通块数量，m 用于记录边的数量。
• 定义了结构体 Edge 来表示边，包含两个端点 a 和 b 以及边的权重 w，并重载了小于运算符 <，以便对边按权重进行排序。
• 定义了数组 e[M] 用于存储所有的边，q[M] 用于存储点的坐标，p[N] 用于实现并查集，记录每个点的父节点。

double get_dist(PII a, PII b)
{
    int dx = a.x - b.x;
    int dy = a.y - b.y;
    return sqrt(dx * dx + dy * dy);
}

• get_dist 函数用于计算两个点 a 和 b 之间的欧几里得距离。先计算横坐标之差 dx 和纵坐标之差 dy，然后根据勾股定理计算两点间的距离并返回。

int find(int x)
{
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

• find 函数实现了并查集的查找操作，用于找到节点 x 的根节点。如果当前节点的父节点不是自身，就递归地查找其父节点，并进行路径压缩（将 x 直接指向根节点），最后返回根节点。

int main()
{
    cin >> n >> k;
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> q[i].x >> q[i].y;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
        for (int j = 0; j < i; j ++ )
            e[m ++ ] = {i, j, get_dist(q[i], q[j])};

    sort(e, e + m);
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) p[i] = i;

    int cnt = n;
    double res = 0;
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        if (cnt <= k) break;

        int a = find(e[i].a), b = find(e[i].b);
        double w = e[i].w;
        if (a != b)
        {
            p[a] = b;
            cnt -- ;
            res = w;
        }
    }

    printf("%.2lf\n", res);

    return 0;
}

• 在 main 函数中：
  • 首先读取点的数量 n 和最终要形成的连通块数量 k。
  • 然后通过循环读取每个点的坐标，并存储在数组 q 中。
  • 接下来通过两层嵌套循环，计算每两个点之间的边的信息（端点和权重），并存储在数组 e 中，同时记录边的数量 m。
  • 对所有的边按照权重进行排序。
  • 初始化并查集，将每个点的父节点设为自身。
  • 定义变量 cnt 记录当前的连通块数量（初始为 n，每个点都是一个单独的连通块），res 用于存储最终的结果（最大边长）。
  • 遍历排序后的边：
    • 如果当前的连通块数量 cnt 已经小于等于 k，则停止遍历。
    • 查找当前边的两个端点在并查集中的根节点 a 和 b，获取边的权重 w。
    • 如果两个根节点不同，说明这条边可以将两个不同的连通块合并，将 a 的父节点设为 b，连通块数量 cnt 减 1，并更新 res 为当前边的权重。
  • 最后按照要求的格式输出结果 res，程序结束。

时间复杂度分析

1. 读取点的坐标的时间复杂度为 (O(n))。
2. 计算边的信息的时间复杂度为 (O(n^2))（两层嵌套循环）。
3. 对边进行排序的时间复杂度为 (O(m \log m))，其中 (m = \frac{n(n - 1)}{2})，近似为 (O(n^2 \log n))。
4. 遍历边并进行并查集操作的时间复杂度为 (O(m \alpha(n)))，其中 (\alpha(n)) 是阿克曼函数的反函数，在实际应用中几乎为常数，所以这部分时间复杂度近似为 (O(m))，即 (O(n^2))。

综合来看，总的时间复杂度为 (O(n^2 \log n))。

空间复杂度分析

1. 存储点坐标的数组 q[M]，空间复杂度为 (O(n))（因为最多 (n) 个点）。
2. 存储边信息的数组 e[M]，空间复杂度为 (O(n^2))（边的数量最多为 (\frac{n(n - 1)}{2})）。
3. 并查集数组 p[N]，空间复杂度为 (O(n))。

因此，总的空间复杂度为 (O(n^2))。