题目描述

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你在不触动警报装置的情况下，能够偷窃到的最高金额。

样例

输入: [1,2,3,1]
输出: 4
解释: 偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。
     偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4。

输入: [2,7,9,3,1]
输出: 12
解释: 偷窃 1 号房屋 (金额 = 2), 偷窃 3 号房屋 (金额 = 9)，
     接着偷窃 5 号房屋 (金额 = 1)。
     偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12。

算法

(动态规划) $O(n)$

1. 令 $f(i)$ 表示考虑了前 $i$ 个房间，且盗窃了第 $i$ 个房间所能得到的最大收益，$g(i)$ 表示不盗窃第 $i$ 个房间所能得到的最大收益。房间的有效下标从 0 开始。
2. 初始时，$f(0) = nums[0]$，$g(0) = 0$。
3. 转移时，对于第 $i$ 个房间有两种选择，盗窃或者不盗窃，则有如下转移 $f(i) = g(i - 1) + nums[i]$，$g(i) = \max (f(i - 1), g(i - 1))$。
4. 最终答案为 $\max (f(n - 1), g(n - 1))$。

时间复杂度

• 状态数为 $O(n)$，转移时间为 $O(1)$，故总时间复杂度为 $O(n)$。

空间复杂度

• 需要额外 $O(n)$ 的空间存储状态。
• 由于每个位置的状态只依赖于前一个位置的状态，故可以直接用一个变量表示状态，优化空间到常数。

C++ 代码

class Solution {
public:
    int rob(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        if (n == 0)
            return 0;

        int f = nums[0], g = 0;

        for (int i = 1; i < n; i++) {
            int last_f = f, last_g = g;
            f = g + nums[i];
            g = max(last_f, last_g);
        }

        return max(f, g);
    }
};