第一眼感觉动态加点维护答案是困难的，所以先来考虑一下静态问题。

一个较为简单的做法是枚举根在哪里，然后树的深度就是距离根最远点的距离。
而且还要满足可以构成二叉树，即需要满足如下两个性质：

• 根节点的 $deg \leq 2$。
• 其余节点的 $deg \leq 3$。（$deg$ 表示节点度数）

然后我们再试图优化一下枚举根的过程，发掘一下性质，会发现：距离 $u$ 最远的点距离相当于 $u$ 先到达树的中心 $c$ 的距离再加上直径的一半。
证明如下：

显然最远点一定是直径端点之一。
那么相当于 $u$ 先从某个点 $v$ 进入直径，然后再走到更远的端点。
可以想到把从 $v$ 到中心 $c$ 点的路径合并进 $u$ 到 $v$ 的路径里，就变成了 $u$ 到中心 $c$ 再加上直径一半。

对于静态问题，直径的一半是常数，那么我们只要求出距离中心最近的 $deg \leq 2$ 的点即可，这一问题可以直接 dfs 用 $O(n)$ 的时间复杂度求解。

考虑如何解决动态问题。首先要解决动态求中心的问题，即动态维护直径。
容易发现加入一个节点 $u$ 的时候，只需要把它到直径两端点的距离分别的当前直径长度比较即可。中心可以倍增跳，不过有较为简单的维护方法。

观察到每次加入点，中心移动距离不会超过 $0.5$，即它要么在点上要么在一条树边的中心。
所以我们只要动态维护当前的树中心，维护方法是记录一个二元组 $(u,v)$，如果 $u=v$ 表示中心在点 $u$ 上，否则表示在 $(u,v)$ 边的中点上。

接下来就不能直接用 dfs 求最近点了，怎么办呢？
好像直接把树拍扁成 dfs 序然后线段树维护就好了呢。