算法1

模拟 $O(m^2 * n)$

1.对于给定的层数 $n$，不难发现，矩阵长度 $m$ 满足 $m = (n - 1) * d + 9$， 其中公差$d = 2$，首项 $a1 = 9$。

2.不妨从中心开始逐步向外递推，可以发现，一旦确定了中间的十字形状，与其相邻的 $8$个方位都为 $’.’$, 而与 $’.’$ 相邻的8个方位均为’$’。因此，我们可以通过n次迭代，确定n层形状。具体做法是，每次扫描整个矩阵两遍，对于没有确定的位置，将其更改为与其相邻且已确定位置的反值。

3.最后，只需要将四个$2*2$的小矩阵修改为$’.’$即可。

C++ 代码

#include <iostream>

using namespace std;

char g[130][130];
int dirx[] = {-1,0,0,1,1,-1,-1,1};  //八方位
int diry[] = {0,1,-1,0,1,-1,1,-1};
int n;

int main() {
    scanf("%d", &n);
    int m = 4 * n + 5; 
    int center = m / 2;  //中心点，即十字
    for(int i = 0; i < m; i++) for(int j = 0; j < m; j++) g[i][j] = '0'; //默认为‘0’

    //确定十字
    for(int i = center - 2; i <= center + 2; i++) {
        g[center][i] = '$';
        g[i][center] = '$';
    }

    //越界判断
    auto&& isvalid = [=](int posx, int posy) -> bool {
        return posx >= 0 && posx < m && posy >= 0 && posy < m;
    };

    //每次迭代的处理
    auto&& made = [&](const char&& ch1, const char&& ch2) {
        for(int i = 0; i < m; i++) {
            for(int j = 0; j < m; j++) {
                if(g[i][j] == '0') {
                    for(int k = 0; k < 8; k++) {
                        int nx = i + dirx[k];
                        int ny = j + diry[k];
                        if(isvalid(nx, ny) && g[nx][ny] == ch1)
                            g[i][j] = ch2;
                    }
                }
            }
        }
    };

    //进行n次迭代
    while(n--) {
        made('$', '.');
        made('.', '$');
    }

    //处理边缘小矩阵
    for(int i = 0; i < m; i += m - 2)
        for(int j = 0; j < m; j += m - 2)
            for(int u = 0; u < 2; u++)
                for(int v = 0; v < 2; v++)
                    g[i + u][j + v] = '.';

    //打印输出                
    for(int i = 0; i < m; i++) printf("%s\n", g[i]);
}