题目
怪盗基德是一个充满传奇色彩的怪盗，专门以珠宝为目标的超级盗窃犯。
而他最为突出的地方，就是他每次都能逃脱中村警部的重重围堵，而这也很大程度上是多亏了他随身携带的便于操作的滑翔翼。
有一天，怪盗基德像往常一样偷走了一颗珍贵的钻石，不料却被柯南小朋友识破了伪装，而他的滑翔翼的动力装置也被柯南踢出的足球破坏了。
不得已，怪盗基德只能操作受损的滑翔翼逃脱。
假设城市中一共有 N 幢建筑排成一条线，每幢建筑的高度各不相同。
初始时，怪盗基德可以在任何一幢建筑的顶端。
他可以选择一个方向逃跑，但是不能中途改变方向（因为中森警部会在后面追击）。
因为滑翔翼动力装置受损，他只能往下滑行（即：只能从较高的建筑滑翔到较低的建筑）。
他希望尽可能多地经过不同建筑的顶部，这样可以减缓下降时的冲击力，减少受伤的可能性。
请问，他最多可以经过多少幢不同建筑的顶部 (包含初始时的建筑)？
输入格式
输入数据第一行是一个整数 K，代表有 K 组测试数据。
每组测试数据包含两行：第一行是一个整数 N，代表有 N 幢建筑。第二行包含 N 个不同的整数，每一个对应一幢建筑的高度 h，按照建筑的排列顺序给出。
输出格式
对于每一组测试数据，输出一行，包含一个整数，代表怪盗基德最多可以经过的建筑数量。
数据范围
1≤K≤100,
1≤N≤100,
0<h<10000
输入样例：
3
8
300 207 155 299 298 170 158 65
8
65 158 170 298 299 155 207 300
10
2 1 3 4 5 6 7 8 9 10
输出样例：
6
6
9
代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
#define N 105
int arr[N];
int f1[N];
int f2[N];
int main() {
int k;
cin >> k;
while (k--) {
memset(f1, 0, sizeof(f1));
memset(f2, 0, sizeof(f2));
int n;
cin >> n;
for (int i = 1; i<=n;i++) cin >> arr[i];
for (int i=1;i<=n;i++) {
f1[i] = 1;
f2[i] = 1;
for (int j = 1; j < i; j++) {
if (arr[i] < arr[j])
f1[i] = max(f1[i], f1[j] + 1);
if (arr[i] > arr[j])
f2[i] = max(f2[i], f2[j] + 1);
}
}
int res = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
res = max(res, max(f1[i], f2[i]));
}
cout << res << endl;
}
}
解析
这题选比较裸的一道题，我们先来分析一下题目
首先，求一个高度递减的楼房子序列长度最大，其实就是求一个最长下降子序列
然后，这个怪盗基德老哥可以选择任意楼房作为起始位置，接着选择一个方向飞到尽头
于是，我们可以画出如下三种情况：
可以看到，左边界和右边界都是中间任意位置的**特殊情况**。
因此，对于中间任意位置 $k$，我们需要考虑以 $k$ 为右边界的最长上升子序列，以 $k$ 为左边界的最长下降子序列
for (int i = 1; i <= n; i++) {
f[i] = 1;
for (int j = 1; j < i; j++) {
if (arr[i] > arr[j])
f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
}
}
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
f[i] = 1;
for (int j = n - 1; j > i; j--) {
if (arr[i] < arr[j])
f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
}
}
上面两个是等价的，只不过状态的表示含义不同。
对于第一个来说
- f[i] 表示以第 i 个位置为右端点的最长上升子序列
对于第二个来说
- f[i] 表示以第 i 个位置为左端点的最长上升子序列
但当循环结束后，遍历每一个 i 得到的最大值只固定的。
