小A点菜

题目背景

uim 神犇拿到了 uoi 的 ra（镭牌）后，立刻拉着基友小 A到了一家……餐馆，很低端的那种。

uim 指着墙上的价目表（太低级了没有菜单），说：“随便点”。

题目描述

不过 uim 由于买了一些书，口袋里只剩$M$ 元 $(M \le 10000)$。

餐馆虽低端，但是菜品种类不少，有 $N$ 种 $(N \le 100)$，第 $i$种卖 $a_i$ 元 $(a_i \le1000)$。由于是很低端的餐馆，所以每种菜只有一份。

小 A 奉行“不把钱吃光不罢休”，所以他点单一定刚好把 uim 身上所有钱花完。他想知道有多少种点菜方法。

由于小 A 肚子太饿，所以最多只能等待 $1$ 秒。

输入格式

第一行是两个数字，表示 $N$ 和 $M$。

第二行起 $N$ 个正数 $a_i$（可以有相同的数字，每个数字均在 $1000$ 以内）。

输出格式

一个正整数，表示点菜方案数，保证答案的范围在 int 之内。

本题是01背包的变形 因为每个菜品只能买一份
定义f[i][j]为买前i道菜用光j元钱的方案总数
本题是求用完所有钱的方案数总和

当钱不够时，当前方案数等于前i-1个物品凑成j的方案数
f[i][j] += f[i - 1][j]

当钱够用时，当前方案数等于 买这道菜用完j元 加上 不买这道菜用完j元 的方案数之和
f[i][j] += f[i - 1][j - v[i]] + f[i - 1][j]

特殊情况考虑 当钱刚刚够买这道菜时，也就是背包里只能装下这一个物品时，这也是一种方案 方案数为1
原始状态方程
f[i][j] += f[i - 1][j - v[i]] + f[i - 1][j]
此时j = v[i]
就变成了
f[i][j] += f[i - 1][0] + f[i - 1][j]
我们用前i - 1个菜一个也买不了的情况 来表示只能买当前菜 前i-1个菜一个也买不了的方案数初始为1
所以我们要初始化f[i - 1][0] = 1

注意这里是方案的叠加，因为每一种方案都是可行的。

朴素代码 也能AC

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 110, M = 10010;

long long f[N][M];
int v[N];
int n, m;

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &v[i]);

    for (int i = 1; i <= n + 1; i ++ ) f[i - 1][0] = 1; //将刚好只能买第i个菜的情况用 前i-1个菜一个也买不了的状态表示 赋值为1
                                                    //这里i<=n+1的原因是 我们要用i-1表示出所有的1～n号菜品 就要将i-1 遍历到n+1
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )  //注意这里j要从1开始 否则会改变我们前面初始化的f[i][0]将其重新初始化为0
        {
            if (j < v[i]) f[i][j] += f[i - 1][j];
            else
                f[i][j] += f[i - 1][j] + f[i - 1][j - v[i]];
        }
    }

    printf("%lld\n", f[n][m]);

    return 0;
}

优化
类似01背包 从二维优化至一维
注意j也是符合01背包的原则 j倒序遍历

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 110, M = 10010;

long long f[M];
int v[N];
int n, m;

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &v[i]);

    f[0] = 1; //在一维的情况下j= 0直接赋值即可
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        for (int j = m; j >= v[i]; j -- )
        {
            f[j] += f[j - v[i]];
        }
    }

    printf("%lld\n", f[m]);

    return 0;
}