题目描述

难度分:$2400$

输入$n(1 \leq n \leq 10^5)$和长为$n$的数组$a(1 \leq a[i] \leq n)$。

定义一个数组的$mex$为不在这个数组中的最小正整数。

把$a$的所有非空连续子数组的$mex$丢到一个数组$b$中，输出$b$的$mex$。

输入样例$1$

3
1 3 2

输出样例$1$

3

输入样例$2$

5
1 4 3 1 2

输出样例$2$

6

算法

思维+线段树

把所有可能的子数组$mex$算出来，就可以算出答案，但是在这个数据规模下我们肯定不能暴力去算。

这个题第一步就很有思维难度：要检查是否有子数组的$mex$等于$6$，我们可以把$a$按照$6$切分成若干段，检查是否有一段包含了$[1,5]$中的所有整数。如果有，那么这一段的$mex$就是$6$。

我们可以在遍历$a$的同时，维护每个$a[i]$最近一次出现的下标$last[a[i]]$，用一棵权值线段树维护元素的最小下标。对于$a[i]$，用线段树查询出$[1,a[i]-1]$每个数的最近一次出现下标的最小值$minIdx$，如果$minIdx \gt last[a[i]]$，说明这前一个$a[i]$到$i$位置的这个$a[i]$之间，包含了区间$[1,a[i]-1]$中的所有整数，那么这一段子数组的$mex=a[i]$。将线段树更新$a[i]$的位置到$i$，继续遍历下一个元素。

其它情况：

1. 如果$a$中有$1$，那么子数组的$mex$可以等于$2$。
2. 如果$a$中有大于$1$的数，那么子数组的$mex$可以等于$1$。

对于$i \in [2,n+1]$，利用权值线段树检查数值$[1,i)$的下标最小值是否超过$last[i]$，超过就说明有子数组满足$mex=i$，做个标记（可以用一个$st$数组标记$st[i]=$true）。最后遍历正数$[1,n+1]$，找到第一个未被标记（即$st[i]=$false）的$i$就是答案。

复杂度分析

时间复杂度

遍历数组$a$的时间复杂度为$O(n)$，遍历的同时一边维护$last$数组和线段树。而对于每个$a[i]$，操作性能的瓶颈在于线段树操作，时间复杂度为$O(log_2n)$。因此，这一步的时间复杂度为$O(nlog_2n)$。

遍历$i \in [2,n+1]$填标记数组时对于每个$i$也需要用线段树进行查询，因此时间复杂度为$O(nlog_2n)$。最后遍历标记数组确定最终答案的时间复杂度为$O(n)$，并不是算法的瓶颈。

综上，整个算法的时间复杂度为$O(nlog_2n)$。

空间复杂度

空间消耗主要在于标记数组$st$，每个数值最后一次出现的位置数组$last$，以及权值线段树。它们的消耗都是线性的，因此算法的额外空间复杂度为$O(n)$。

C++ 代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int N = 100010;
int n, a[N], last[N];
bool st[N];

class SegmentTree {
public:
    int a[N];
    struct Info {
        int l, r, mn;
        Info() {}
        Info(int left, int right, int v): l(left), r(right), mn(v) {}
    } seg[N<<2];

    explicit SegmentTree() {}

    void build(int u, int l, int r) {
        if(l == r) {
            seg[u] = Info(l, r, 0);
        }else {
            int mid = l + r >> 1;
            build(u<<1, l, mid);
            build(u<<1|1, mid + 1, r);
            pushup(u);
        }
    }

    void modify(int pos, int val) {
        modify(1, pos, val);
    }

    Info query(int l, int r) {
        if(l > r) return Info(0, 0, 0);
        return query(1, l, r);
    }

private:
    void modify(int u, int pos, int val) {
        if(seg[u].l == pos && seg[u].r == pos) {
            seg[u] = Info(pos, pos, seg[u].mn + val);
        }else {
            int mid = seg[u].l + seg[u].r >> 1;
            if(pos <= mid) modify(u<<1, pos, val);
            else modify(u<<1|1, pos, val);
            pushup(u);
        }
    }

    Info query(int u, int l, int r) {
        if(l <= seg[u].l && seg[u].r <= r) return seg[u];
        int mid = seg[u].l + seg[u].r >> 1;
        if(r <= mid) {
            return query(u<<1, l, r);
        }else if(mid < l) {
            return query(u<<1|1, l, r);
        }else {
            return merge(query(u<<1, l, r), query(u<<1|1, l, r));
        }
    }

    void pushup(int u) {
        seg[u] = merge(seg[u<<1], seg[u<<1|1]);
    }

    Info merge(const Info& lchild, const Info& rchild) {
        Info info;
        info.l = lchild.l;
        info.r = rchild.r;
        info.mn = min(lchild.mn, rchild.mn);
        return info;
    }
};

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
    }
    SegmentTree seg;
    seg.build(1, 1, n);
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        if(a[i] != 1) {
            st[1] = true;
        }
        if(a[i] > 1  && seg.query(1, a[i] - 1).mn > last[a[i]]) {
            st[a[i]] = true;
        }
        last[a[i]] = i;
        seg.modify(a[i], i - seg.query(a[i], a[i]).mn);    // a[i]的位置改成i
    }
    for(int i = 2; i <= n + 1; i++) {
        if(seg.query(1, i - 1).mn > last[i]) {
            st[i] = true;
        }
    }
    int ans = 1;
    while(ans <= n + 1 && st[ans]) {
        ans++;
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}