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题目描述

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。

它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。

可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。

不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。

但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。

为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。

我们把这两只青蛙分别叫做青蛙 $A$ 和青蛙 $B$，并且规定纬度线上东经 $0$ 度处为原点，由东往西为正方向，单位长度 $1$ 米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。

设青蛙 $A$ 的出发点坐标是 $x$，青蛙 $B$ 的出发点坐标是 $y$。

青蛙 $A$ 一次能跳 $m$ 米，青蛙 $B$ 一次能跳 $n$ 米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。

纬度线总长 $L$ 米。

现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

输入格式

输入只包括一行 $5$ 个整数 $x，y，m，n，L$。

输出格式

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行 Impossible。

数据范围

$x \neq y < 2000000000$,
$0 < m,n < 2000000000$,
$0 < L < 2100000000$

输入样例：

1 2 3 4 5

输出样例：

4

思路

以下是简化过后的题目描述：

给定 $a, b, m, n,L$，求关于 $x$ 的同余方程 $(m-n)x \equiv b-a\pmod L$ 的正整数解

根据扩展欧几里得算法，我们先求出方程 $(m-n)x-Ly=\gcd(m-n,L)$ 的解 $x_0$。

根据裴蜀定理，只有当 $\gcd(m-n,L)|b-a$ 时，方程有整数解。

故：若不能整除则输出 Impossible。

否则，根据余数的性质，方程 $(m-n)x \equiv b-a\pmod L$ 的可行解 $x$ 为： $$x=x_0\times \frac{b-a}{\gcd(m-n,L)}$$

通解为： $$x+k\times\frac{L}{\gcd(m-n,L)}(k \in \mathbb{Z})$$

此时求出最小正整数解即为答案。

算法时间复杂度

AC Code

$\text{C}++$

#include <iostream>
#define int long long

using namespace std;

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (!b)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

signed main()
{
    int a, b, x, y, l, m, n;
    cin >> a >> b >> m >> n >> l;

    int d = exgcd(m - n, l, x, y);
    if ((b - a) % d) puts("Impossible");
    else
    {
        x *= (b - a) / d;
        int t = abs(l / d);
        cout << (x % t + t) % t << endl; // 正整数解
    }

    return 0;
}

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