之前怎么也想不明白最大公约数的解法，终于想清楚了，顺便写出来，万一有人需要呢，对吧。

import java.util.Scanner;

public class Main{
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        Main Solution = new Main();
        int t=sc.nextInt();
        int ans;
        for(int i=0;i<t;i++){
            int n=sc.nextInt();
            // 调用方法1
            ans = Solution.solution_2(n);
            // 调用方法2

            System.out.println(ans);
        }
    }
    /**
     * 暴力法
    */
    private int solution_1(int n){

        int N = 4*n;
        boolean[] mark=new boolean[N];
        // 首先把起点标记一下
        mark[0] = true;
        int m=0,ans=1;
        // 循环查找下一个标记的点
        while (mark[(m+n+1)%N] != true){
            m += n+1;
            m = m%N;
            mark[m]=true;
            ans++;
        }
        // 加上最后一次重复标记的点
        return ans + 1;
    }
    /**
     * 最大公约数的解法
    */

    private int solution_2(int n){
        int d=gcd(4*n, n+1);
        int ans=(4*n)/d;
        return ans + 1;
    }

    public int gcd(int a, int b){
        int r;
        while(b != 0){
            r = a % b;
            a = b;
            b = r;
        }
        return a;
    }

}

最大公约数解法的解释：

首先，第一次重合的点一定是起点。

Why？由于小王必须从起点出发，假设我们第一次重合的点是A点，即A点一定要被打卡两次，也就是说，一定存在一条路径，是从 起点->A点(第一次到达) 的。

假设我们再一次到达了A点，训练结束。那么，也一定还存在一条路径，是从起点(再一次遇见)->A(再一次打卡)的，即，要想到达A点，就一定会先过起点。这样就说明，起点一定是比A点更早的重复打卡，即：A点是最早重合的点，这个假设不成立。

然后，就是打卡多少次的问题了。

由于一定是要走圈的整数倍，所以可以easy得到一个等式， $x \cdot ( 4 * n ) = y \cdot ( n + 1 )$ 这里的这个y就是我们要的答案。要使得y最小，即要求 $y \cdot ( n + 1 )$ 等于 4*n和n+1的最小公倍数。设g为最大公约数，h为最小公倍数，则有： $[ (4 * n) \cdot ( n+1 ) ] = g * h$ , 且 $h = y \cdot ( n + 1 )$

则答案为：$y = \frac{[ (4 * n) \cdot ( n+1 ) ]}{g \cdot (n+1)} = \frac{4*n}{g}$

同样的，这里的最终答案忘了计算起点（第一次打卡），所以要加1