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题目描述

在一个平面直角坐标系的第一象限内，如果一个点 $(x,y)$ 与原点 $(0,0)$ 的连线中没有通过其他任何点，则称该点在原点处是可见的。

例如，点 $(4,2)$ 就是不可见的，因为它与原点的连线会通过点 $(2,1)$。

部分可见点与原点的连线如下图所示：

编写一个程序，计算给定整数 $N$ 的情况下，满足 $0 \le x,y \le N$ 的可见点 $(x,y)$ 的数量（可见点不包括原点）。

输入格式

第一行包含整数 $C$，表示共有 $C$ 组测试数据。

每组测试数据占一行，包含一个整数 $N$。

输出格式

每组测试数据的输出占据一行。

应包括：测试数据的编号（从 $1$ 开始），该组测试数据对应的 $N$ 以及可见点的数量。

同行数据之间用空格隔开。

数据范围

$1 \le N,C \le 1000$

输入样例：

4
2
4
5
231

输出样例：

1 2 5
2 4 13
3 5 21
4 231 32549

思路

首先我们考虑在 $(0,0)$ 位置上不能看见点 $(x,y)$ 的条件为 $\gcd(x,y) \not= 1$

所以整个图能看见的点的数量为

$$\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n}[\gcd(i,j) = 1]$$

由于整个图形关于 $y=x$ 对称，所以我们只要统计上面一半（或下面）然后把答案 $\times 2+1$即可。

所以上面的式子化简为：

$$2 \times \sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{i}[\gcd(i,j)=1] + 1$$

这里我们引入 欧拉函数【$\varphi(n)$】 的概念：

对于正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目.

即：对于 $n \in \mathbb{N^*}$，$$\varphi(n)=\sum_{i=1}^{n}[\gcd(i,n)=1]$$

所以答案可简化为：

$$2 \times \sum_{i=0}^{n}\varphi(i) +1$$

我们线性预处理 $1 \sim 10^3$ 的欧拉函数，然后直接进行计算即可。

算法时间复杂度 $O(10^3+\sum N)$

线性筛欧拉函数时间复杂度为 $O(10^3)$;

对于每一个输入的 $N$，时间复杂度都是 $O(N)$。

因次总时间复杂度为 $O(10^3+\sum N)$。

最后不要忘了开 long long。

AC Code

$\text{C}++$

#include <iostream>
#define int long long

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, c;
int primes[N], cnt;
int euler[N];
bool st[N];

void get_eulers(int n)
{
    euler[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i])
        {
            primes[cnt ++ ] = i;
            euler[i] = i - 1;
        }
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
        {
            int t = primes[j] * i;
            st[t] = true;
            if (i % primes[j] == 0)
            {
                euler[t] = euler[i] * primes[j];
                break;
            }
            euler[t] = euler[i] * (primes[j] - 1);
        }
    }
}

main()
{
    scanf("%lld", &c);
    get_eulers(N - 1);

    for (int _ = 1; _ <= c; _ ++ )
    {
        scanf("%lld", &n);
        int res = 0;
        for (int i = 0; i <= n; i ++ )
            res += euler[i];
        printf("%lld %lld %lld\n", _, n, 2 * res + 1);
    }

    return 0;
}

最后，如果觉得对您有帮助的话，点个赞再走吧！