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题目描述

有 $N$ 件物品和一个容量是 $V$ 的背包。每件物品只能使用一次。

第 $i$ 件物品的体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出 字典序最小的方案。这里的字典序是指：所选物品的编号所构成的序列。物品的编号范围是 $1 … N$。

输入格式

第一行两个整数，$N，V$，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 $N$ 行，每行两个整数 $v_i, w_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一行，包含若干个用空格隔开的整数，表示最优解中所选物品的编号序列，且该编号序列的字典序最小。

物品编号范围是 $1 … N$。

数据范围

$0 \lt N, V \le 1000$
$0\lt v_i, w_i \le 1000$

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 6

输出样例：

1 4

思路

本题为DP问题，可以使用 闫氏DP分析法 解题。

因为题目要求输出选法，所以我们需要倒推状态转移路径；而要求字典序最小，我们需要在选和不选之间优先选当前物品。

所以我们把原本正序遍历的物品倒过来枚举，这样我们选择的时候优先考虑选择该物品就可以了。

DP：

• 状态表示 $f_{i,j}$：
  • 集合：在后 $i$ 个物品中选，且总体积不超过 $j$ 的所有方案。
  • 属性：$\max$
• 状态计算：
  • 选倒数第 $i$ 个物品：$f_{i+1,j-v_i}+w_i$
  • 不选倒数第 $i$ 个物品：$f_{i+1,j}$

时间复杂度 $O(N \cdot V)$

AC Code:

$C++$

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int f[N][N];
int v[N], w[N];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);

    for (int i = n; i >= 1; i -- )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
        {
            f[i][j] = f[i + 1][j];
            if (j >= v[i])
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i + 1][j - v[i]] + w[i]);
        }

    int k = m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        if (k >= v[i] && f[i][k] == f[i + 1][k - v[i]] + w[i])
        {
            cout << i << ' ';
            k -= v[i];
        }

    return 0;
}

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