$$\color{Red}{繁忙的都市-最小生成树的性质}$$

这里附带打个广告——————我做的所有的题解

包括基础提高以及一些零散刷的各种各样的题

题目介绍

城市C是一个非常繁忙的大都市，城市中的道路十分的拥挤，于是市长决定对其中的道路进行改造。

城市C的道路是这样分布的：

城市中有 n 个交叉路口，编号是 1∼n，有些交叉路口之间有道路相连，两个交叉路口之间最多有一条道路相连接。

这些道路是 双向 的，且把所有的交叉路口直接或间接的连接起来了。

每条道路都有一个分值，分值越小表示这个道路越繁忙，越需要进行改造。

但是市政府的资金有限，市长希望进行改造的道路越少越好，于是他提出下面的要求：

1. 改造的那些道路能够把所有的交叉路口直接或间接的连通起来。

2. 在满足要求1的情况下，改造的道路尽量少。

3. 在满足要求1、2的情况下，改造的那些道路中分值最大值尽量小。

作为市规划局的你，应当作出最佳的决策，选择哪些道路应当被修建。

输入格式

第一行有两个整数 n,m 表示城市有 n 个交叉路口，m 条道路。

接下来 m 行是对每条道路的描述，每行包含三个整数u,v,c 表示交叉路口 u 和 v 之间有道路相连，分值为 c。

输出格式

两个整数 s,max，表示你选出了几条道路，分值最大的那条道路的分值是多少。

数据范围

1 ≤ n ≤ 300

1 ≤ m ≤ 8000

1 ≤ c ≤ 10000

输入样例：

4 5
1 2 3
1 4 5
2 4 7
2 3 6
3 4 8

输出样例：

3 6

一般ACM或者笔试题的时间限制是1秒或2秒。在这种情况下，代码中的操作次数控制在 10 ^ 7 ∼ 10 ^ 8 为最佳。

n <= 100 -> O(n ^ 3) -> 状态压缩dp floyd 高斯消元

n <= 1000 -> O(n ^ 2) O(n ^ 2 * log(n)) -> dp，二分，朴素版Dijkstra、朴素版Prim、Bellman-Ford

n ≤ 100000 -> O(nlogn) -> 各种sort，线段树、树状数组、set/map、heap、拓扑排序、dijkstra+heap、prim+heap、Kruskal、spfa

我的SPFA全题解

我的Dijkstra全题解

我的Bellman_fold全题解

我的Floyd全题解

我的Prim题解

我的Kruskal题解

解析

本题的前两个条件，一个要求路径经过所有点，一个道路尽可能少，这就满足了树。

n 个节点只用 n-1 个路径相连。

而这道题要求算的不是总长度最小，而是树最大边权最小，乍一看好像和最小生成树不太一样。

这里我的直觉第一眼是使用二分，二分的值是树的最长边的值，然后二分过程中，建 0 1 边权图，即大于二分的值长度就定1，小于定0，然后通过 dfs 或者 bfs 确定是否能覆盖所有点。

类似我之前写过的非常详细的证明思路题解 通信线路【从0推演到−>双端队列二分】

而这道题，我们思考一下，本身最小生成树的过程，每次引入树中的边，都是优先选择最短边，基于贪心的思想，其实这个枚举过程，我们组成生成树的边天生满足选取最短原则，故这个策略选取的最长边，也是所有生成树中最短的。

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {

    static int N = 8010, M = 310;
    static int n, m, res;
    static class Node implements Comparable<Node>{
        int a, b, w;
        public Node(int a, int b, int w){
            this.a = a;
            this.b = b;
            this.w = w;
        }

        @Override
        public int compareTo(Node o){
            return this.w - o.w;
        }
    }
    static Node [] nodes = new Node [N];
    static int [] p = new int [M];
    static int find(int x){
        if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
        return p[x];
    }

    static BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));

    public static void main(String []args) throws IOException {
        String [] s1 = br.readLine().split(" ");
        n = Integer.parseInt(s1[0]);
        m = Integer.parseInt(s1[1]);
        for(int i = 0; i < m; i ++) {
            String [] s2 = br.readLine().split(" ");
            int a = Integer.parseInt(s2[0]);
            int b = Integer.parseInt(s2[1]);
            int w = Integer.parseInt(s2[2]);
            nodes[i] = new Node(a, b, w);      
            if (i <= n) p[i] = i; 
        }

        Arrays.sort(nodes, 0, m);
        for(int i = 0; i < m; i++){
            Node node = nodes[i];
            int a = find(node.a), b = find(node.b), w = node.w;
            if (a != b){
                p[a] = b;
                res = w;
            }
        }
        System.out.printf(n - 1 + " " + res);
    }
}