题目描述

在幻想乡，琪露诺是以笨蛋闻名的冰之妖精。

某一天，琪露诺又在玩速冻青蛙，就是用冰把青蛙瞬间冻起来。但是这只青蛙比以往的要聪明许多，在琪露诺来之前就已经跑到了河的对岸。于是琪露诺决定到河岸去追青蛙。

小河可以看作一列格子依次编号为 $0$ 到 $N$，琪露诺只能从编号小的格子移动到编号大的格子。而且琪露诺按照一种特殊的方式进行移动，当她在格子 $i$ 时，她只移动到区间 $[i+L,i+R]$ 中的任意一格。你问为什么她这么移动，这还不简单，因为她是笨蛋啊。

每一个格子都有一个冰冻指数 $A_i$，编号为 $0$ 的格子冰冻指数为 $0$。当琪露诺停留在那一格时就可以得到那一格的冰冻指数 $A_i$。琪露诺希望能够在到达对岸时，获取最大的冰冻指数，这样她才能狠狠地教训那只青蛙。

但是由于她实在是太笨了，所以她决定拜托你帮它决定怎样前进。

开始时，琪露诺在编号 $0$ 的格子上，只要她下一步的位置编号大于 $N$ 就算到达对岸。

输入格式

第一行三个正整数 $N, L, R$。

第二行共 $N+1$ 个整数，第 $i$ 个数表示编号为 $i-1$ 的格子的冰冻指数 $A_{i-1}$。

输出格式

一个整数，表示最大冰冻指数。

样例

样例输入

5 2 3
0 12 3 11 7 -2

样例输出

11

提示

对于 $60\%$ 的数据，$N \le 10^4$。

对于 $100\%$ 的数据，$N \le 2\times 10^5$，$-10^3 \le A_i\le 10^3$，$1 \le L \le R \le N$。数据保证最终答案不超过 $2^{31}-1$。

算法1

(暴力DP) $O(n^2)$

TLE

设$f_i$为跳跃到$i$的最大指数，则$f_i=max(f_j)+a_i (i-r \le j \le i-l<i)$
注意：有的位置是无法转移的。
解决方法：
1.对于能够转移到的点打上标记。
2.初始化时，将所有点的$f_i$设为$-inf$，对于无法转移的点，转移后$f_i$仍为$-inf$，不影响结果判断。

时间复杂度

参考文献

Python 代码

n,l,r=map(int,input().split())
N=n+l+10
a=list(map(int,input().split()))+[0]*l
f=[-float('inf')]*N;f[0]=0
for i in range(1,n+l+1):
    for j in range(i-r,i-l+1):
        if j>=0:
            f[i]=max(f[i],f[j]+a[i])
res=-float('inf')
for i in range(n+1,n+l+1):
    res=max(res,f[i])
print(res)

算法2

(DP，单调队列) $O(n)$

AC

对于状态转移方程：$f_i=max(f_j)+a_i(i-r \le j \le i-l<i)$
每次要找$i-r \to i-l$范围的最大值，即动态求解固定长度的区间最值，可用单调队列。
设$i$为区间的右端点，$i-l+r$为区间左端点，单调队列求解区间最值，更新$f_{i+l}$。

时间复杂度

参考文献

Python 代码

n,l,r=map(int,input().split())
N=n+l+10
a=list(map(int,input().split()))+[0]*l
f=[-float('inf')]*N;f[0]=0
q=[0]*N;hh=0;tt=-1
for i in range(n+1):
    while hh<=tt and f[q[tt]]<f[i]:
        tt-=1
    tt+=1;q[tt]=i
    while hh<=tt and q[hh]-l+r<i:
        hh+=1
    f[i+l]=f[q[hh]]+a[i+l]
res=-float('inf')
for i in range(n+1,n+l+1):
    res=max(res,f[i])
print(res)