$$\color{Red}{最大公约数(欧几里得算法):两种语言}$$

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包括基础提高以及一些零散刷的各种各样的题

题目介绍

给定 n 对正整数 ai,bi，请你求出每对数的最大公约数。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一个整数对 ai,bi。

输出格式
输出共 n 行，每行输出一个整数对的最大公约数。

数据范围

1 ≤ n ≤ 10^5

1 ≤ ai bi ≤ 2 × 10 ^ 9

输入样例：

2
3 6
4 6

输出样例：

3
2

证明

欧几里得算法 （辗转相除法）

基本原则： 若满足 d | x, d | y, 则一定满足d | n * x + m * y

为什么欧几里得算法能成立？

即证明： (x, y) == (y, x % y)

则x % y 一定满足 x % y = x - (x / y) * y

即 x % y = x - n * y (n 为 自然数)

即证明：(x, y) == (y, x - n * y)

先证明左边成立：

设 d = (x, y)， 所以满足d | x，d | y ，根据算数基本定理 d | x - n * y

左边证毕

再证明右边成立：

设 d = (y, x - n * y)， 所以满足d | y，d | x - n * y ，根据算数基本定理可以合并同类项 d | (x - n * y) + (n * y)

即满足d | x

右边证毕

java

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;

public class Main {
    static int n;
    static BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));

    static int gcd(int a, int b) {
        return b != 0 ? gcd(b, a % b) : a;
    }

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        n = Integer.parseInt(br.readLine());
        while(n -- > 0) {
            String [] s = br.readLine().split(" ");
            int a = Integer.parseInt(s[0]);
            int b = Integer.parseInt(s[1]);
            System.out.println(gcd(a, b));
        }
    }
}

c++

#include <iostream>
using namespace std;

int gcd(int a, int b)
{
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

int main()
{
    int n, a, b;;
    scanf("%d", &n);
    while(n--)
    {
        scanf("%d%d", &a, &b);
        printf("%d\n", gcd(a,b));
    }
    return 0;
}