$$\color{Red}{分解质因数:两种语言(基于试除法)}$$

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包括基础提高以及一些零散刷的各种各样的题

题目介绍

给定 n 个正整数 ai 将每个数分解质因数，并按照质因数从小到大的顺序输出每个质因数的底数和指数。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一个正整数 ai。

输出格式
对于每个正整数 ai，按照从小到大的顺序输出其分解质因数后，每个质因数的底数和指数，每个底数和指数占一行。

每个正整数的质因数全部输出完毕后，输出一个空行。

数据范围

1 ≤ n ≤ 100

1 ≤ ai ≤ 10 ^ 9

输入样例：

2
6
8

输出样例：

2 1
3 1

2 3

证明

基于算数基本定理，一个数字肯定能被表示成它所有的质因数的幂次方的乘积。

而这个表示形式的质因数称之为底数，幂次称之为指数。

同时，我们需要知道一个关键的性质，一个数n最多只有一个比根号n大的质因数。

反证法：若它存在两个这样的质因数，它们的乘积必然大于且无法等于n，违背算数基本定理。

那么我们只需要利用试除法求约数的道理，从2枚举到根号n，找到一个满足的数，边累除求幂，然后累除的数更新原数。一直枚举到无法整除为止，如果此时的数仍大于1，说明这个数就是那个大于根号n的质因子，根据我们的分析它的次数应该是1，且没有比它更大的质因数了。

java

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;

public class Main {
    static int n;
    static BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
    static void divide(int x){
        for (int i = 2; i <= x / i; i++) {
            if (x % i == 0) {
                int s = 0;
                while(x % i == 0){
                    x /= i;
                    s ++;
                }
                System.out.println(i + " " + s);
            }
        }
        if (x > 1) System.out.println(x + " 1");
        System.out.println();
    }

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        n = Integer.parseInt(br.readLine());
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int x = Integer.parseInt(br.readLine());
            divide(x);
        }
    }
}

C++

#include <iostream>

using namespace std;

void divide(int x)
{
    //一个比n小的数最小的质因数不可能大于sqrt(n)，如果有两个大于sqrt(n)的因子，那么相乘会大于n，矛盾
    for(int i=2; i <= x / i; i++)
    {
        //一个数最小的因数一定是质数，如果它不为质数
        //这个因数势必可以存在比它自己小的因数，这个因数理应能让原数整除
        if(x % i == 0)
        {
            int s = 0;
            while(x % i == 0)   x /= i, s ++;
            printf("%d %d\n", i, s);
        }
    }
    if(x > 1)   printf("%d %d\n", x, 1);
    puts("");
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while(n--)
    {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        divide(x);
    }
    return 0;
}