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题目描述

潜水员为了潜水要使用特殊的装备。

他有一个带2种气体的气缸：一个为氧气，一个为氮气。

让潜水员下潜的深度需要各种数量的氧和氮。

潜水员有一定数量的气缸。

每个气缸都有重量和气体容量。

潜水员为了完成他的工作需要特定数量的氧和氮。

他完成工作所需气缸的总重的最低限度的是多少？

例如：潜水员有5个气缸。每行三个数字为：氧，氮的（升）量和气缸的重量：

3 36 120

10 25 129

5 50 250

1 45 130

4 20 119

如果潜水员需要5升的氧和60升的氮则总重最小为249（1，2或者4，5号气缸）。

你的任务就是计算潜水员为了完成他的工作需要的气缸的重量的最低值。

输入格式

第一行有2个整数 $m，n$。它们表示氧，氮各自需要的量。

第二行为整数 $k$ 表示气缸的个数。

此后的 $k$ 行，每行包括$a_i，b_i，c_i$，3个整数。这些各自是：第 $i$ 个气缸里的氧和氮的容量及气缸重量。

输出格式

仅一行包含一个整数，为潜水员完成工作所需的气缸的重量总和的最低值。

数据范围

$1 \le m \le 21$,
$1 \le n \le 79$,
$1 \le k \le 1000$,
$1 \le a_i \le 21$,
$1 \le b_i \le 79$,
$1 \le c_i \le 800$

输入样例：

5 60
5
3 36 120
10 25 129
5 50 250
1 45 130
4 20 119

输出样例：

249

思路

本题为DP问题，可以使用 闫氏DP分析法 解题。

DP：

• 状态表示 $f[i][j][k]$：
  • 集合：所有从前 $i$ 个物品中选,且氧气含量至少是 $j$ ,氮气含量至少是 $k$ 的所有选法的气缸重量总和。
  • 属性：$\min$
• 状态计算：
  • 所有不包含物品 $i$ 的所有选法：$f[i-1][j][k]$
  • 所有包含物品 $i$ 的所有选法：$f[i-1][j-v_1][k-v_2]$

==注意1==：即使所需要的氧气或者氮气所需的是数量是负数，但其所需数量与 $0$ 是等价的，因此可以通过所需数量为 $0$ 来转移
==注意2==：因为是求 $\min$，所以最开始要初始化成 $\inf$。

$AC$ $Code$:

$C++$

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 50, M = 160;

int n, m, K;
int f[N][M];

int main()
{
    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    f[0][0] = 0;

    cin >> n >> m >> K;

    for (int k = 1; k <= K; k ++ )
    {
        int v1, v2, w;
        scanf("%d%d%d", &v1, &v2, &w);
        for (int i = n; i >= 0; i -- )
            for (int j = m; j >= 0; j -- )
                f[i][j] = min(f[i][j], f[max(0, i - v1)][max(0, j - v2)] + w);
    }

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

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