$$\color{Red}{传纸条-详细题解}$$

我做的所有的题解

包括基础提高以及一些零散刷的各种各样的题

题目说明

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。

一次素质拓展活动中，班上同学安排坐成一个 m 行 n 列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。

幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。

纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标 (m,n)。

从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。

班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙，反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用 0 表示），可以用一个 0∼100 的自然数来表示，数越大表示越好心。

小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。

现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入格式
第一行有 2 个用空格隔开的整数 m 和 n，表示学生矩阵有 m 行 n 列。

接下来的 m 行是一个 m×n 的矩阵，矩阵中第 i 行 j 列的整数表示坐在第 i 行 j 列的学生的好心程度，每行的 n 个整数之间用空格隔开。

输出格式
输出一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

数据范围

1 ≤ n
m ≤ 50

输入样例：

3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

输出样例：

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二. 证明部分

这道题的代码思路与这道题完全相同：我的最低通行费题解

理由其实很简单，走过去再返回，和连续走两次其实性质相同，第一次走完了才开始第二次路径。此时不管是从上到下还是从下到上其实没什么区别。

其实大家纠结的点应该在于为什么重合的点部分进入动态规划，不影响答案。

我们可以很好的理解，一个人一旦参与第一条或者第二条路径，它肯定不会参与第二条路径，因为势必第二条路径可以选择别的点。
如下面:
第一条路径假设为 1 -> 4 -> 5 -> 8 -> 9
第二条路径假设为 1 -> 2 -> 5 -> 6 -> 9

显然第一条路径会让重合的点5的好感度消失，那么第二条路径重合显然不是最优，可以选择更优或相等（点3好感度为0的时候相等）的：
1 -> 2 -> 3 -> 6 -> 9

1  2  3
4  5  6
7  8  9

故综上，我们完全可以用和最低通行费相同的思路做这道题。

正常人的第一步想法，应该是进行两次数字三角形模型的问题的结合，只不过第一次的dp需要记忆最大行走路线，然后根据第一步的路线把图像里面的点的权重清除。

但是如果记忆路线，势必要引入队列，类似走迷宫，根据可以走的四个方向进入，以此来记忆最大的那条路线，和动态规划就背道而驰，复杂度极大提高。

那么如何能保证仍然采用动态规划的同时，进行具有序列影响作用的两条路径？

我们不妨直接进入一个合并，同时走两条路径 f[i1, j1, i2, j2] 代表两条路径的终点

但是此时开销太大，四维数组，比我们最初得记忆路径还大。我们发现两条路径是同时走得，故同一时刻，两者前进得曼哈顿距离一定相等，我们设曼哈顿距离为k，为了优化空间问题，直接转化为f[k, i1, i2], 此时显然j1 = k - i1,j2 = k - i2

这只是空间优化，那么当两条路径相互影响也就是路径重叠如何解决？

很简单，两个路径每当k + 1即走了一步前，如果i1 = i2, 那么此时必然两个点重叠，只需要加一个权重值，如果不等，必然两点位置不同，需要同时加上两个点得权重。

那么具体怎么进行状态转移——》每当k+1，走到i1， i2的点，两个路径的前一状态各存在两种情况，即向下或者向右的两两组合，我们求最大值，只需要在这四种情况取最大值，加上我们上一步特判的权重，即规划完毕。

java

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;

public class Main {
    static int N = 55, n, m;
    static int[][] arr = new int[N][N];
    static int[][][] f = new int[2 * N][N][N];
    static BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        String [] str1 = br.readLine().split(" ");
        n = Integer.parseInt(str1[0]);
        m = Integer.parseInt(str1[1]);
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            String [] str2 = br.readLine().split(" ");
            for (int j = 1; j <= m; j++) arr[i][j] = Integer.parseInt(str2[j - 1]);
        }
        //动态规划
        for (int k = 2; k <= n + m; k++)
            for (int i1 = 1; i1 <= n; i1++)
                for (int i2 = 1; i2 <= n; i2++) {
                    int j1 = k - i1, j2 = k - i2;
                    if (j1 < 1 || j1 > m || j2 < 1 || j2 > m) continue;
                    int t = arr[i1][j1];
                    if (i1 != i2) t += arr[i2][j2];
                    f[k][i1][i2] = Math.max(Math.max(f[k - 1][i1 - 1][i2 - 1], f[k - 1][i1 - 1][i2]),
                            Math.max(f[k - 1][i1][i2 - 1], f[k - 1][i1][i2])) + t;
                }
        System.out.println(f[n + m][n][n]);
    }
}