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题目描述

有 $N$ 种物品和一个容量是 $V$ 的背包。

物品一共有三类：

• 第一类物品只能用1次（01背包）；
• 第二类物品可以用无限次（完全背包）；
• 第三类物品最多只能用 $s_i$ 次（多重背包）；

每种体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，$N，V$，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 $N$ 行，每行三个整数 $v_i, w_i, s_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 种物品的体积、价值和数量。

• $s_i = -1$ 表示第 $i$ 种物品只能用1次；
• $s_i = 0$ 表示第 $i$ 种物品可以用无限次；
• $s_i >0$ 表示第 $i$ 种物品可以使用 $s_i$ 次；

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

$0 \lt N, V \le 1000$
$0 \lt v_i, w_i \le 1000$
$-1 \le s_i \le 1000$

输入样例

4 5
1 2 -1
2 4 1
3 4 0
4 5 2

输出样例：

8

思路

本题为DP问题，可以使用闫氏DP分析法解题。

DP：

在我看来，本题其实就是 多重背包问题 ：

• 对于 能取 $s_i$ 次 的物品，就不需要管；
• 对于 只能取 $1$ 次 的物品，当做 $s_i = 1$ 然后跑多重背包；
• 对于 能取 $\infty$ 次 的物品，把 $s_i$ 设为 $10^9$ 然后跑多重背包；

具体实现看代码：

$AC$ $Code$:

$C++$

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 20010, inf = 2e9;

int n, m;
int f[N], g[N], q[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int v, w, s;
        cin >> v >> w >> s;
        if (s == -1) s = 1; // 01背包当做多重背包
        else if (s == 0) s = inf; // 完全背包当做多重背包

        memcpy(g, f, sizeof(f));
        for (int j = 0; j < v; j ++ ) // 单调队列优化多重背包
        {
            int hh = 0, tt = -1;
            for (int k = j; k <= m; k += v)
            {
                if (hh <= tt && q[hh] < k - s * v) hh ++ ;
                if (hh <= tt) f[k] = max(f[k], g[q[hh]] + (k - q[hh]) / v * w);
                while (hh <= tt && g[q[tt]] - (q[tt] - j) / v * w <= g[k] - (k - j) / v * w) tt -- ;
                q[ ++ tt] = k;
            }
        }   
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

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