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题目描述

在网友的国度中共有 $n$ 种不同面额的货币，第 $i$ 种货币的面额为 $a[i]$，你可以假设每一种货币都有无穷多张。

为了方便，我们把货币种数为 $n$、面额数组为 $a[1..n]$ 的货币系统记作 $(n,a)$。 

在一个完善的货币系统中，每一个非负整数的金额 $x$ 都应该可以被表示出，即对每一个非负整数 $x$，都存在 $n$ 个非负整数 $t[i]$ 满足 $a[i] × t[i]$ 的和为 $x$。

然而，在网友的国度中，货币系统可能是不完善的，即可能存在金额 $x$ 不能被该货币系统表示出。

例如在货币系统 $n=3, a=[2,5,9]$ 中，金额 $1,3$ 就无法被表示出来。 

两个货币系统 $(n,a)$ 和 $(m,b)$ 是等价的，当且仅当对于任意非负整数 $x$，它要么均可以被两个货币系统表出，要么不能被其中任何一个表出。 

现在网友们打算简化一下货币系统。

他们希望找到一个货币系统 $(m,b)$，满足 $(m,b)$ 与原来的货币系统 $(n,a)$ 等价，且 $m$ 尽可能的小。

他们希望你来协助完成这个艰巨的任务：找到最小的 $m$。

输入格式

输入文件的第一行包含一个整数 $T$，表示数据的组数。

接下来按照如下格式分别给出 $T$ 组数据。 

每组数据的第一行包含一个正整数 $n$。

接下来一行包含 $n$ 个由空格隔开的正整数 $a[i]$。

输出格式

输出文件共有 $T$ 行，对于每组数据，输出一行一个正整数，表示所有与 $(n,a)$ 等价的货币系统 $(m,b)$ 中，最小的 $m$。

数据范围

$1 \le n \le 100$,
$1 \le a[i] \le 25000$,
$1 \le T \le 20$

输入样例：

2 
4 
3 19 10 6 
5 
11 29 13 19 17

输出样例：

2
5

思路

本题为DP问题，可以使用闫氏DP分析法解题。

DP：

当且仅当一张货币面额可以被该系统下其他货币表示时，此货币对该系统能表示的面额没有影响，换言之这个货币没有存在的必要，所以将这类的货币从系统中去除就可以得到等价的最小数量货币系统。

可以用 DP 求出能表示该面额的方案数，若对于一张货币方案数唯一（即只能被自己表示），则这张货币不能被省略，反之可以被省略。

• 状态计算：
  ······$f[0] \leftarrow 1$
  ······$f[j] \leftarrow f[j - a_i]$

因为有多组数据，所以要清空 $f$ 数组

$AC$ $Code$:

$C++$

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std; 

const int M = 25010, N = 110;

int n, T;
int f[M];
int a[N];

int main()
{
    scanf("%d", &T);

    while (T -- )
    {
        scanf("%d", &n);
        for (int i = 0; i < n; i ++ )
            scanf("%d", &a[i]);

        sort(a, a + n);

        int m = a[n - 1];
        memset(f, 0, sizeof f);
        f[0] = 1;

        int res = 0;
        for (int i = 0; i < n; i ++ )
        {
            if (!f[a[i]]) res ++ ;
            for (int j = a[i]; j <= m; j ++ )
                f[j] += f[j - a[i]];
        }

        printf("%d\n", res);
    }

    return 0;
}

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